应多数朋友的要求,本篇起开始解读初高中衔接内容。本系列内容不全是为了中考,更可以延伸到中考后,为高一年的数学学习打下必要的基础。本人大胆建议:中考结束后,同学们可以借助本系列内容进行超前式的学习,顺利渡过“初高中衔接”这个门槛,更快地适应今后高中的学习!
本篇说明:绝对值型方程和不等式,初中课程没有做详细讲解,只是在概念中渗透些许,而且高中也没有专门的补充内容,但却一直在使用.严重脱节!
预备知识:
绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零
绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.
两个数的差的绝对值的几何意义:|a-b|表示在数轴上,数a和数b之间的距离.
图文解析:
绝对值的意义:
绝对值与比较大小:
动态解析相关知识点:
预备练习:
答案:1.(1)3和-3;5和-5.
(2)3和-3;4和-2.
(3)-2和-8.
2.D.
例题解析:
例1 化简:|x-5|-|13-2x|(x>5).
解析:(1)判断|x-5|和|2x-13|的符号;先找“零点”,分别是x=5,x=6.5(13-2x=0);得到:当x>5时,x-5>0,13-2x<0,因此:原式=(x-5)-(2x-13)=……=-x +8.
例2 解下列各题:
(1)当x_________时,|x-2|+|x+3|有最小值,最小值为_________.
(2)解方程:|x-2|+|x+3|=6.
(3)解不等式:|x-2|+|x+3|>6.
观察动态演示:
认真观察动态演示,不难得到:
解析一(利用数轴——数形结合):
如上图,|x+3|表示数轴上表示x的点P到表示-3的点A之间的距离PA=|x+3|;|x-2|表示数轴上表示x的点P到表示2的点B之间的距离PB=|x-2|.
所以:
(1)|x-2|+|x+3|的最小值的几何意义即为求PA+PB的最小值;
而当-3≤x≤2时,显然PA+PB的值都等于5(也是最小值).其他情况均大于5.
(2)解方程|x-2|+|x+3|=6的几何意义即为找出符合条件的点使PA+PB=6.
由AB=5,不难得到PA=0.5或PB=0.5,即:点P 在点A的左边的0.5个单位处,或点P在点B的右边0.5个单位处.从而得到方程的解为:x=-3.5或x=2.5.
(3)不等式|x-2|+|x+3|>6的几何意义即为:|PA|+|PB|>6.
由|AB|=5,可知:点P 在点A的左边的0.5个单位的左侧、或点P在点B的右边0.5个单位的右侧.所以x<-3.5,或x>2.5.
解析二(通法——分类讨论)(只解析第小题,其余两小题类似):
例3 解下列各题(例2的拓展):
(1)当x_____时,|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值,最小值为_____.
(2)解不等式|x-2|+|x+3|+|x+5|≤10.
解析:(类似例2)
认真观察动态演示,
不难得到:
(1)当x=-3(即P点与A点重合)时,|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值,最小值为7;
(2)原不等式的解集为:x≤-16/3或x>0.
详细解题过程,这里略去。
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