用绝对值的几何意义解题

湖北省黄石市下陆中学　刘加禄

大家知道，|a|的几何意义是：数轴上表示a的点到原点的距离；|a－b|的几何意义是：数轴上表示数a、b的两点的距离．对于某些问题用绝对值的几何意义来解，直观简捷，事半功倍．

 

一、求代数式的最值

 

    例1 已知a是有理数，| a－2007|+| a－2008|的最小值是________．.

 

解：由绝对值的几何意义知，| a－2007|+| a－2008|表示数轴上的一点到表示数2007和2008两点的距离的和，要使和最小，则这点必在2007～2008之间（包括这两个端点）取值（如图1所示），故| a－2007|+| a－2008|的最小值为1.   

 

　　　　　　　

 

    例2  |x－2|－| x－5| 的最大值是_______，最小值是_______．

 

解：把数轴上表示x的点记为P．由绝对值的几何意义知，|x－2|－| x－5|表示数轴上的一点到表示数2和5两点的距离的差，当P点在2的左边时，其差恒为－3；当P点在5的右边时，其差恒为3；当P点在2～5之间（包括这两个端点）时，其差在－3～3之间（包括这两个端点）（如图2所示），因此，|x－2|－| x－5|的最大值和最小值分别为3和－3．

 

　　　　　　　　

 

二、解绝对值方程

 

    例3 方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为__________．

 

    解：把数轴上表示x的点记为P，由绝对值的几何意义知，当－2≤x≤1时，|x－1|+|x＋2|恒有最小值3，所以要使|x－1|+|x＋2|＝4成立，则点P必在－2的左边或1的右边，且到表示数－2或1的点的距离均为

个单位（如图3所示），故方程|x－1|+|x＋2|＝4的解为：

x

＝－2－

＝－

，x

＝ 1+

＝

．

 

　　　　　　　　　　　

 

三、求字母的取值范

 

例4         若 |x+1|+|2－x|＝3，则x的取值范围是________．

 

解：由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x－2|的最小值为3，此时x在－1～2之间（包括两端点）取值（如图4所示），故x的取值范围是－1≤x≤2．

 

　　　　　　　　　　　

 

例5         对于任意数x，若不等式|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，则a的取值范围是___________．

 

解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－4|的最小值为6，而对于任意数x，|x＋2|+|x－4|＞a恒成立，所以a的最值范围是a＜6．

 

    四、解不等式

 

例6         不等式|x＋2|+|x－3|＞5的解集是__________．

 

解：由绝对值的几何意义知，|x＋2|+|x－3|的最小值为5，此时x在－2～3之间（包括两端点）取值，若|x＋2|+|x－3|＞5成立，则x必在－2的左边或3的右边取值（如图5所示），故原不等式的解集为x＜－2或x＞3．

 

　　　　　　　　　　　　

 

五、判断方程根的个数

 

例7 方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（   ）个解．

 

A.．4； B． 3；   C． 2；   D．1

 

解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．

 

六、综合应用

 

例8（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．

 

解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，

 

∵ |x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，

 

而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，

 

∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，

 

∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，

 

故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．