如果有人对你说，把一个苹果切成有限份，通过平移和旋转将其重新组合起来，可以得到两个和原来体积完全相同的苹果，这样反直觉的结果你会相信吗？尽管这种操作在现实中不可能，但在数学上是可以能的——这就是Banach–Tarski定理。本文将详细介绍这一定理的证明，特别是其依赖的选择公理，并详细谈谈如何理解这一定理背后所折射出的不同数学思想。
撰文 | 叶凌远
引言
当你饥肠辘辘身处绝境，手中只有一个苹果，你会怎么办？如果这时数学家告诉你，她可以把这个苹果切开分成有限份，再重新组合起来，你就能得到两个和原来苹果一样大小的新苹果——你是否为了活命，愿意重拾久违的数学，开始虔诚地学习？
这听起来匪夷所思，违背常理。的确，在现实生活中，我们没有办法真的把一个苹果切开再重组，得到两个和原来一模一样的苹果。但在数学上，真的有一个定理说的就是这样一种现象，这就是著名的 Banach-Tarski 悖论（中文中有时也称作分球悖论）：对于三维空间中的一个球（更一般地对于任意n≥3维空间中的球），我们可以找到一种方式把这个球切分成有限份（例如5份即可），将得到的每一小份通过旋转和平移重新组合起来，就能够拼凑出两个和原来大小一模一样的两个球。
严格来说这并不是一个“悖论”，而是一个定理，因此之后我们都将会称其为 Banach-Tarski 定理，该定理最早的证明是Stefan Banach和Alfred Tarski在一篇1924年的文章中给出的。之所以将其称为“悖论”，是因为这个定理的结论与我们的常识和对几何的直观有些冲突，正如前文说数学家能凭空变出来一个新苹果时，你所感到的怀疑一样。
此时，如何认识这样一个“悖论”就变成了更为重要的事情。我们应该无条件地相信这个定理所阐述的内容，重新构建我们对几何物体的直觉吗？还是我们应该更相信直觉，从而反过来重新审视我们描述这个定理时所做的一些更基本的假设？现在，我们就来仔细探讨这个问题。
Banach-Tarski 定理的证明
为了更加深入地探讨这个定理，我们还需简单地了解一下这个定理所涉及的一些概念和思想，同时也会讲讲这个定理的证明。对于人类而言，数学证明的要素并不仅仅在于保证一个命题的正确性，更在于让我们从证明当中体会什么是对一个命题而言最核心的要素，掌握了这些，我们才能进行后面更加深入的探讨。
无穷
若暂时跳出我们对三维球体的几何直观，从更为抽象的角度来考虑，似乎这件事情没有预想的那样违背直觉，因为这涉及到无穷对象。在数学上，可以说是在 Cantor 创立现代集合论之后，我们才真正有足够的数学工具来对无穷本身进行研究，同时也发现了无穷非常有趣的性质。
几何
如图所示的迭代是 Hilbert 给出的版本，与 Peano 最早找到的构造不完全一致，但方法是类似的。
简单但不太严谨地来说，当将上面的曲线迭代无穷次后，我们便能够得到一个填满整个正方形的曲线；若更加小心地叙述，整个过程可以用严格的数学语言表达出来。这样曲线的存在似乎挑战着我们对于几何物体“维数”的直观。
而在 Banach-Tarski 定理中，为何把一个球分解成有限份后再重组，其体积能够变成原来的两倍呢？其中一个原因便是，我们切分后的一些部分是三维欧式空间中的不可测集。尽管所有的操作，例如平移、旋转都在直观上保持几何对象体积的不变性，但我们切分的方式使得一些得到的子集并不能有效地被赋予体积（更严格地，勒贝格测度），因此“保持体积”这一说法也就无从谈起了。
事实上，当选择公理成立时，欧氏空间中就会有许许多多的勒贝格不可测集。即使是数学专业的人也不一定对选择公理的内涵十分了解，暂时我们可以将其理解为数学家们假设集合所具有的一种性质。我们将在下一个小节中更具体地谈谈选择公理以及它的推论。
反过来看，Banach-Tarski 定理的成立也表明，当选择公理成立时，我们不可能在在三维欧式空间中找到一个具有有限加性质的测度（即不相交的两个集合的测度是两个集合测度的和）使得其所有子集都是可测的——因为我们找到了一种有限分解单位球再重组使其体积加倍的方法，若其中涉及的所有子集都是可测的，这便会与有限加性质矛盾。
回过头来看，从黎曼开始走出欧式平直空间的范畴研究弯曲几何之后，人们对于“空间”或“几何”的认识都不断发生着改变。人们曾经认为几何对象所必须具有的性质，在现代数学中并不一定成立。想要真正理解 Banach-Tarski 定理，并化解其与我们脑中对几何物体直观的矛盾，我们似乎必须对”空间“和”几何“这些概念有更加深入的反思——我们将在最后回到这一点上。
现在，让我们来更加仔细地谈谈什么是选择公理。
选择公理
我们在一开始叙述 Banach-Tarski 定理时就提到，即使数学上 Banach-Tarski 定理是成立的，在现实生活中我们永远没有办法把一个苹果分成有限份再重组，得到两个和原来一模一样的苹果。这不是受目前人类的技术所限，也不是因为我们没有足够的计算能力；即使整个宇宙的能量和计算能力都为我们所用，Banach-Tarski定理所描述的现象也无法真正实现——这一限制是根本性的。这不禁让人感到更加神秘，为什么现实生活中永远无法做到的事情数学家就能声称它们存在呢？想要理解这一点，我们还得暂时跳出几何的世界，再次回到更为抽象的集合层次上来。
公理集合论的发展很大程度上是为了研究无穷的性质。想要得到一个针对无穷的严格数学理论，仅仅凭借我们脑中对集合直观的认识是远远不够的，甚至无法保持逻辑的一致性，容易导致矛盾。这之中最著名的例子便是罗素悖论。这是一个真正意义上的悖论，即它会导致自相矛盾的结论。罗素悖论挑战的是我们脑中“任何一个性质都能定义一个集合”这一朴素的观念。这也是为何在20世纪，许多数学家要花费大量的精力，利用公理化的方法尝试描述出一个严格的、一致的形式系统来刻画无穷的性质，最终才发展出了公理集合论这一数学分支。可以说，绝大部分现代数学分支都是建立在严格的集合论体系之上的。
尽管大部分公理集合论的内容非常技术化，与我们理解 Banach-Tarski 定理没有那么相关，但其中有一条公理非常重要，即为著名的选择公理。Banach-Tarski 定理的证明严格地依赖于选择公理（更确切地说，其依赖于比选择公理稍弱的一个版本）。换言之，若没有选择公理，Banach-Tarski 定理的结论也不可能成立。对选择公理严格的依赖性是我们没有办法在现实生活中实现 Banach-Tarski 定理的主要原因。
这种在使用选择公理时数学假设的存在性，与我们在现实生活中能够实实在在构造出的对象之间的不一致，便是我们觉得 Banach-Tarski 定理违背常识背后的一个很重要的因素。前面我们提到，Banach-Tarski 定理的证明严格地依赖于选择公理。更为具体的，把一个球分解成有限份再重组成两个一模一样的球，若要完成这件事，这个分割的构造必须依赖选择公理，而没有办法直接地写出。这种分解的方式只在数学上假设了其存在，但在现实生活中是无法完成的。这是我们说尽管 Banach-Tarski 定理成立，你也无法真正把一个苹果切成有限份再拼凑成两个一模一样苹果的原因。因此，当你真的身临绝境，还是不要钻研数学了，好好学习农业，精通果树种植技术才是务实的选择！
自由群
具体构造
终于，讲完上述的所有要素，我们可以来叙述 Banach-Tarski 定理的证明了。需要做如下几步：
证明之后
回到主题 Banach-Tarski 定理，给出了它的证明后数学的工作就完成了吗？并不如此。我们知道了它的证明，但仍不能完全解决我们最开始听到这个命题后所产生的怀疑。现在，就让我们回过头来重新想想它被称为“悖论”的原因。
如我们一直强调的那样，Banach-Tarski 的结论是一个定理，之所以在很多情况下称其为悖论，是因为它的结论与我们的几何直观并不相符。在这种情况下，我们至少有两种可能的选择：接受现有描述几何对象的框架，调整我们的几何直观；或者寻找一个新的描述几何对象的框架，使得 Banach-Tarski 定理或类似的现象能够得到一个更加直观地解释。
但几何空间的性质真的可以完全被还原成它所包含的点的性质吗？我们能不能直接地描述一个几何空间的性质而不借助构成它的点呢？若回到古希腊时代，对这个问题的答案应该是肯定的，且我们对几何对象的理解也定与现在不尽相同。那时，尽管直线和平面中都包含很多个点，但古希腊的数学家们并不倾向于把直线或平面理解成由许多点构造而成，而是将其自身看待为一个独立的几何对象来理解。
现代数学便有一个分支，以此为出发点来研究几何物体。为了突出“点”在这个进路中所具有的次要地位，在英文中它被称为 point-less topology（拓扑学大家 Peter Johnstone 在1983年写过一篇有名的文章 The Point of Point-less Topology），在中文世界对这一数学分支的翻译和资料都较少，或许可直译为无点拓扑或意译为直接拓扑（当然，这样的译法不具有权威性）。顾名思义，在直接拓扑中，定义几何对象的方式是直接从其拓扑所具有的几何信息出发，而一个空间中点的概念则是随后根据其几何信息构造而成的。特别的，直接拓扑扩充了现有几何空间的概念，因为其内存在没有任何点的非平凡几何对象。
若采取直接拓扑的进路，则欧氏空间中任何一个子集都会是可测的，且对于那些在经典测度论中的可测集，两种方式所定义的测度是一样的。从这个角度来看，直接拓扑或许更符合我们对几何对象直观的理解。
结语
事实上，直接拓扑的进路能够极大地降低我们对选择公理的依赖，使得我们不再使用那些选择公理假设其存在却永远无法直接判定的数学对象。因此，直接拓扑和构造主义数学（constructive mathematics）也有很深的联系。不过碍于篇幅，没有办法在这篇文章中向大家介绍更多有关直接拓扑的内容了，就留到下次吧！
在本文的最后为大家介绍直接拓扑的内容，并不是想说明直接拓扑的进路就构成了我们对 Banach-Tarski 定理或是对几何空间最终的理解。而只是想强调，数学并不是一件非黑即白的事业，其远远不局限于对一个命题的证明，或者解决一个具体的问题。更为重要的，是要找到更为合适的数学语言，使得我们看待问题的方式更加自然更符合直观。当我们找到一个好的数学框架，许多问题往往就迎刃而解了。在两种不同的框架下对 Banach-Tarski 定理的理解便是一个很好的例子。
数学的使命从来不仅仅是言说真理——真的命题其实随处可见，但我们不会见到将形如“如果 1+1 = 2 那么 3 + 3 = 6”或“如果 1+1 = 3 那么 2+2 = 3” 这样逻辑上为真但毫无意义的命题收集成册的数学书。数学对真理是有选择的，它总是以或审美或应用的角度来阐述那些它认为“重要”的真理。在数学中，言说哪些真理、如何言说真理或从什么角度言说真理才是更长远的问题——数学是人类的创造，是一门艺术，和人类的审美息息相关，而不仅仅是对真理的发现。
本文原文发表于“水木逻辑”公众号，经作者重新修订发表于返朴。
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