如果有一天你对别人说起你是学数学的，我想你大概会得到如下反应：“我真的很喜欢数学课，因为答案要么是对的，要么是错的。没有任何模糊性或疑虑。”对此我只想说，我不想打消你们任何人的热情，相反地我一直在努力建立起大家的热情。但数学中确实也充满了不确定性，只不过在平常它隐藏得很好。
我当然也能理解大家为什么总是说数学充满了确定性，试想一下如果你的老师问你7是否是一个质数，答案当然是“是”。质数的定义是一个大于1的整数，只能被1和它自己整除，如2, 3, 5, 7, 11, 13等等。无论在哪里，无论何时，任何数学老师都会为“7是质数”这一答案打勾。不像某些马式主义哲学，两头跑。
筛法寻找质数
但如果你问100位数学家，什么是数学语句背后的真理，你将会得到100个不同的答案。数字7可能是一个抽象的对象，而质数性是该对象的一个特征。或者它是数学家设计的一种复杂游戏的一部分。换句话说，数学家在某一陈述是否正确上高度一致，但他们无法达成共识的是，究竟这个陈述是关于什么的。很别扭是吧，但事实就是他们就是这样一群别扭的人。
最常被人们拿来争议的便是：数学是被人类发现的，还是发明的？有没有可能7是一个实际的对象，独立于我们存在，而数学家正在发现关于它的事实。或者它只是我们想象出来的东西，其定义和性质都是可以变化的。做数学的行为实际上鼓励了一种双重哲学观点，即数学既是被发明的，也可以是被发现的。
这一切在我看来有点像在演戏。数学家们创造了一个舞台，带有少量的角色或对象，以及几个互动规则，然后观察情节是如何展开的。这些角色迅速地展现出了出乎意料的个性和关系，完全出乎数学家原本打算。然而，无论谁导演这出戏，结局总是一样的。即使在一个混沌的系统中，结局可以变化很大，但是相同的初始条件总会导致相同的终点。正是这种不可避免性，给予数学如此显著的魅力。但隐藏在幕后的是关于数学对象的基本性质以及获取数学知识的困难问题。
我们如何知道一个数学声明是正确还是错误的呢？与自然科学家不同，数学家从一组对象和规则开始，然后严格地证明它们的结果。这种演绎过程的结果被称为证明，它通常从简单的事实构建到更复杂的事实。乍一看，证明似乎是数学家之间令人难以置信的共识的关键。
但你要知道证明只能赋予有条件的真理，结论的真实性取决于假设的真实性。证明有核心假设，其他一切都取决于它，但这就带来一个问题：这些基础性的对象和思想到底是从哪里来？
一个答案是所谓实用性。例如，我们需要数字来计数（比如牛的头数），需要几何对象，如矩形，来测量田地的面积。当然有时候也可以是审美，比如我们想知道结局到底有多有趣或吸引人？改变初始假设有时会解锁更广泛的结构和理论，同时排除其他结构和理论。例如，我们可以发明一个新的算术系统，在该系统中，负数乘以负数是负的（这样可以省去数学老师的烦恼解释），但这也会带来一些弊端，我们所期望的关于数的美好性质全都会幻灭。
伟大的哲学家——尼采
数学家在更大、一致的数学背景下评判基础对象（如负数）及其性质（如它们相乘的结果）。因此，在证明一个新的定理之前，数学家需要看一下情节如何展开。只有那样，才能知道要证明什么：这使得做数学的过程有三个阶段：发明、发现和证明。
戏剧中的角色几乎都是由更简单的对象构成的。例如，圆被定义为与中心点等距的所有点的集合。它的定义依赖于点的定义，这是一种更简单的对象，以及两点之间的距离，这些是更简单对象的一个属性。同样，粗略地来讲乘法是重复加法，指数是重复的乘法。因此，指数的性质是从乘法的性质继承来的。反之，我们可以通过研究复杂数学对象所基于的简单对象来了解它们。这使得数学家将数学想象成一个倒置的金字塔，其中许多复杂的对象和思想都是从简单概念的基础中推导出来的。
金字塔
在19世纪末和20世纪初，一群数学家开始思考支撑这个沉重的数学金字塔的基础是什么。他们担心如果数学没有基础，我们便没有任何东西来证明1+1=2这样的事实是真的。（是的，他们真的思考过为什么1+1=2，他们是一群痴迷的角色，其中几个人更与精神疾病作过斗争。），经过50年的动荡，这一宏大的项目未能找到一个完美的答案，但在通往这条路上发展了各种各样新的数学。
他们中的有些人希望通过产生一个相对简单的公理集合来解决这个基础危机，并从这些公理中出发推导出所有的数学真理。然而，哥德尔在20世纪30年代的工作表明这是痴心妄想。Gödel表明任何合理的公理体系都是不完整的即：存在该系统既不能证明也不能证伪的数学命题。
寻找数学基础的探索还导致了一个称为Zermelo-Fraenkel集合论的基本公理系统的惊人发现，从这一系统中，我们可以推导出大部分有趣的数学。但基于集合的数学公理并不是一些历史上的数学家所希望的理想化的基础，不过它们确实非常简单，并在今天支撑着大部分的数学。
在整个20世纪，他们一直在争论是否应该加入额外的规则，即选择公理，来增强Zermelo-Fraenkel集合论：所谓选择公理就是指，如果你有无穷多的集合，那么你可以通过从每个集合中选择一个对象来形成一个新的集合。想象一排桶，每个桶里都有一堆球，还有一个空桶。从排列中的每个桶里，你可以选择一个球放入空桶中。选择公理允许你对无穷个的桶做这个操作。这不仅有直观上的吸引力，而且还可以证明一些有用且令人满意的数学命题。
选择公理的作用：利用选择公理我们可以证明很多威力强大的定理，下面依赖选择公理证明的命题：
良序原理: 选择公理可以保证每一个集合都可以被“良好地排序”。这意味着存在一个序，使得任何该集合的非空子集都有一个最小元。
Tychonoff定理: 在拓扑学中，Tychonoff定理断言任意的拓扑空间的乘积是紧的，只有在选择公理的前提下这一结果才是成立的。
Hahn-Banach定理:在泛函分析中，Hahn-Banach定理是关于线性泛函的扩展的。这个定理在某些形式上需要选择公理来证明。
Ultrafilter定理:在集合论和拓扑学中，Ultrafilter定理断言每个布尔代数都有一个超滤波器，其证明也需要选择公理。
Kakutani定理:在数学经济学中，Kakutani定理是一个有关集合值映射固定点的存在性的定理，它的某些版本的证明也需要选择公理。
不过数学很大程度上是十分公平的，你相信选择公理，也会意味着一些奇怪的事情比如Banach-Tarski悖论会发生，这个悖论表明存在一种方式，将一个实心的三维球体分解为有限个非重叠的子集（具体来说，只需要5个或者更少），然后仅仅通过旋转和平移这些子集，可以重新组合得到两个与原始球体大小相同的实心球体。
我们“魔术般”地创造出两个相同的实心球体，而不增加或消耗任何材料。这个悖论在直观上是难以理解的，因为它违反了物理世界中的守恒律。但需要明白的是，Banach-Tarski悖论是基于纯数学的集合论原理，并不考虑物理实际性。它所使用的分割和重组方法在实际物理意义上是不可能的。没有选择公理，数学似乎缺少了关键的事实，有了它，数学包括了一些奇怪且可能不受欢迎的陈述。
Banach-Tarski悖论示意图
大部分的现代数学使用了一套随着时间推移而形成的标准定义和规范。例如，数学家过去认为1是一个质数，但现在不再这样认为。然而，他们仍然在争论0是否应该被视为一个自然数。哪些角色或发明成为数学规范的一部分，通常取决于所产生的效果有多么引人入胜，而观察这一点可能需要多年的时间。从这个意义上说，数学知识是累积的。旧的理论可能被忽视，但它们很少被证明是无效的，数学家们只是选择将他们的注意力转向一套新的起始假设，并在旧有理论的基础探索新的东西。
正如前面说的那样，数学家们经常基于某种特定的应用来定义对象和公理。然而，在数学过程的第二阶段：发现，这些对象经常会给他们带来意外的惊喜。例如，素数是乘法的基石，它们是最小的乘法单位。一个数如果不能表示为两个较小的数的乘积，那么它就是素数；所有的非素数（合数）都可以通过将独特的一组素数相乘来构造。
1742年，哥德巴赫提出了一个假设，认为大于2的每一个偶数都是两个素数的和。如果你选择任何一个偶数，“哥德巴赫猜想”预测你可以找到两个相加等于该偶数的素数。如果你选择8，那么这两个素数是3和5；选择42，那就是13 + 29。哥德巴赫猜想之所以令人惊讶，是因为尽管素数是为了相乘而设计的，但它却意外地揭示了偶数与素数和之间的神奇关系。
歌德巴赫的手稿
我们有大量的证据支持哥德巴赫猜想。自他的最初观察以来的300年中，计算机已经证实对于所有小于4 × 10^18的偶数，该猜想都成立。但这些证据对于数学家们来说还不足以声明哥德巴赫猜想是正确的。无论计算机检查了多少个偶数，下一个可能不满足猜想的偶数总是可能存在的。
想象一下计算机在打印其结果。每次它找到两个素数相加等于某个特定的偶数时，计算机就会打印出那个偶数。到目前为止，这是一个非常长的数字列表，你可以将其呈现给一个朋友，作为相信哥德巴赫猜想的有力证据。但你聪明的朋友总是能想到一个不在列表上的偶数，并问你如何知道哥德巴赫猜想对于那个数字是真的。所有的（无穷多的）偶数都不可能一一在列表上。只有数学证明从一个从基本原理出发证明哥德巴赫猜想对于每一个偶数都是真的逻辑论证——才能将这个猜想提升为定理或事实。然而，迄今为止，还没有人能够提供这样的证明。
模式和证据会帮助数学家发现并决定要证明什么，但它们也可能会产生误导。例如，我们构建一个数字序列：121, 1211, 12111, 121111, 1211111，等等。我们提出一个猜想：该序列中的所有数字都不是素数。为这个猜想收集证据很容易。你可以看到121不是素数，因为121 = 11 × 11。同样，1211、12111和121111都不是素数。这种模式持续了一段时间——足够长，以至于你可能会厌倦检查——但它突然失败了。这个序列的第136个元素（即数字12111...111，其中“2”后面跟着136个“1”）是素数。
你可能会认为，现代计算机可以通过允许你在序列中测试更多的数字来帮助解决这个问题。但有数学模式的例子在序列的前1042个元素中都成立，然后失败。即使拥有世界上所有的计算能力，你也永远无法测试这么多的数字。
超级计算机
尽管如此，数学过程中的发现阶段仍然非常重要。它揭示了像哥德巴赫猜想这样的隐藏联系。往往两个完全不同的数学分支在孤立中被深入研究，然后才发现它们之间有深刻的关联。一个相对简单的例子是欧拉恒等式它将圆周率π和虚数单位连接起来，这些令人惊讶的发现是数学之美一部分。它们似乎指向了一个数学家们刚刚开始理解的深层次的基础结构。
从这个意义上说，数学既是被发明的，也是被发现的。研究对象被精确地定义，但它们有自己的生命，展现出意想不到的复杂性。因此，数学的过程似乎要求数学对象同时被视为真实和被发明的——这种双重性对数学家们的工作通常没有影响，只要你认为“双重思考是可接受的”。
但数学实在论是哲学上的一个立场，它在数学的发现阶段似乎很有道理：数学研究的对象——从圆和素数到矩阵和流形——是真实的，独立于人类的思维存在。就像天文学家探索遥远的星球或古生物学家研究恐龙一样，数学家正在深入了解真实的实体。
实在论在其各种表现形式中，如柏拉图主义（受古希腊哲学家的柏拉图形式理论启发）很容易解释数学的普遍性和有用性。一个数学对象有一个属性，例如7是一个素数，就像一个恐龙可能有飞行的属性一样。一个数学定理，如两个偶数之和是偶数，是真的，因为偶数确实存在，并与彼此有特定的关系。这解释了为什么跨越时间、地理和文化差异的人们普遍同意数学事实，因为他们都引用相同的固定对象。
恐龙化石
但实在论有一些重要的反对意见。比如如果数学对象真的存在，它们的属性肯定很特别。首先，它们是因果无效的，意味着它们不能成为任何事情的原因，所以你不能真正地与它们互动。这是一个问题，因为我们似乎是通过其影响来获得关于一个对象的知识的。恐龙分解成骨头，古生物学家可以看到和摸到，而一个行星可以在一个星星前面经过，挡住它的光。但一个圆是一个抽象的对象，独立于时间和空间。我们摸不见看不着。
π是圆的周长与直径的比例，它指的是一个抽象的数学圆，其中距离是精确的，圆上的点是无穷小的。这样一个完美的圆是因果无效的，并且似乎是不可接近的。那么我们如何不用某种特殊的第六感知道关于它的事实呢？
这就是实在论所遇到的困难之处——它未能解释我们是如何知道关于抽象数学对象的事实的。而形式主义是反实在论的一种哲学立场，它声称数学就像一个游戏，数学家只是在玩游戏的规则。数学在其虚构的宇宙内有意义，但在其外部没有真正的意义。
这是一个不可避免的权衡。如果数学只是被编造出来的，那么为什么它会是科学如此必不可少的一部分呢？从量子力学到生态学模型，数学是一种宽泛且精确的科学工具。科学家们不期望粒子按照国际象棋的规则移动，科学描述的重担完全落在了数学身上，这使得它与其他游戏有本质的区别。
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