八下数学必考题型之辅助线6种常考问题

01

如图，∠E＝∠B+∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由．

【分析】延长BE交CD于F，通过三角形外角的性质可证明∠B＝∠EFD，则能证明AB∥CD．

【解答】解：延长BE交CD于F．

∵∠BED＝∠B+∠D，

∠BED＝∠EFD+∠D，

∴∠B＝∠EFD，

∴AB∥CD．

解法二：如图，过点E作∠BEF＝∠B（EF在∠BED内），

所以AB∥EF（内错角相等，两直线平行），

因为∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D（已知），∠BEF＝∠B（已作），

所以∠FED＝∠D，所以CD∥EF（内错角相等，两直线平行）

所以AB∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行）．

02

（2016·十堰）如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝（　　）

A．140°       B．130°       C．120°       D．110°

【分析】直接利用平行线的性质得出∠B＝∠BCG，∠GCD＝90°，进而得出答案．

【解答】解：过点C作CG∥AB，

由题意可得：AB∥EF∥CG，

故∠B＝∠BCG，∠GCD＝90°，

则∠BCD＝40°+90°＝130°．

故选：B．

03

如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，求∠1的度数。

【解答】解：过点P作射线PN∥AB，如图1所示

因为PN∥AB，AB∥CD， 所以PN∥CD

所以∠4＝∠2＝28°

因为PN∥AB，所以∠3＝∠1

因为∠3＝∠BPC－∠4＝58°－28°＝30°

所以∠1＝30°

04

（1）如图1，若AB∥DE，∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数.

（2）如图1，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B、∠BCD、∠D之间的数量关系吗？并说明理由．

（3）如图2，AB∥EF，根据（2）中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数

【解答】解：（1）如图，过C点作CF∥AB，所以∠B＋∠BCF＝180°

因为AB∥DE，所以CF∥DE

所以∠FCD＋∠D＝180°

所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°

即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°

所以∠BCD＝360°－∠B－∠D＝360°－135°－145°＝80°

（2）∠B＋∠BCD＋∠D＝360°，

理由：如图，因为CF∥AB

又因为AB∥DE，所以CF∥DE

所以∠B＋∠BCF＝180°

所以∠B＋∠BCF＋∠FCD＋∠D＝180°＋180°

即∠B＋∠BCD＋∠D＝360°

（3）∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝540°

05

如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°，则AB与CD平行吗？请说明理由．

【分析】过点E作EF∥AB，根据∠ABE＝125°可求出∠BEF的度数，进而得出∠FEC的度数，由此可得出EF∥CD，故可得出结论．

【解答】解：AB∥CD．

理由：过点E作EF∥CD，

所以∠FEC＝∠DCE＝35°．

因为∠BEC＝95°

所以∠BEF＝95°－35°＝60°

又因为∠ABE＝120°

所以∠ABE＋∠BEF＝180°

所以AB∥EF

又因为EF∥CD，所以AB∥CD．

06

如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°，求∠BED．

【分析】连接BD，过F作FG∥AB，由AB∥CD，得到FG∥CD，利用两直线平行内错角相等，得到两对角相等，进而求出∠ABF+∠CDF的度数，由BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，利用角平分线定义得到∠EBF+∠EFF的度数，在三角形BFD中，利用内角和定理得到∠FBD+∠FDB的度数，进而求出∠EBD+∠EDB的度数，求出∠BED度数即可．

【解答】解：连接BD，过F作FG∥AB，由AB∥CD，得到FG∥CD，

∴∠ABF＝∠BFG，∠CDF＝∠DFG，

∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝120°，∠FBD+∠FDB＝60°，

∵BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，

∴∠EBF+∠EDF＝

（∠ABF+∠CDF）＝60°，

∴∠EBD+∠EDB＝∠EBF+∠EDF+∠FBD+∠FDB＝120°，

则∠BED＝60°．