河洛数理浅述

尹锋

相传，上古伏羲氏时，黄河中有龙马背负"河图"，献给伏羲，伏羲依此而演成八卦，后为《周易》来源。又传说夏禹时，洛河中浮出神龟，背驮"洛书"，献给大禹。大禹依此治水成功，遂划天下为九州。又依此定九章大法，治理社会，流传下来收入《尚书》中，名《洪范》。《易·系辞上》说"河出图，洛出书，圣人则之"，即指此两件事。

河图与洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，历来被认为是河洛文化的滥觞。在先秦西汉的典籍中有其文字记载。《尚书·顾命》说“大玉，夷玉，天球，河图在东序”；《论语·子罕》称“子曰：风鸟不至，河不出图，吾已矣夫”；《管子·小臣》讲：“昔人之受命者，龙龟假，河出图，洛出书，地出乘黄，今三祥未见有者。”《易经·系辞上》说：“河出图，洛出书，圣人则之。”西汉经学家孔安国解释说：“河图者，伏羲氏王天下，龙马出河，遂则其文，以画八卦。”《竹书纪年》轩辕“五十年秋七月庚申，凤鸟至，帝祭于洛水”沈约注“龙图出河，龟书出洛......风后受图”的说法流传很广。有人以为龙马为东方七宿的龙与天马四，与《山海经》中的“马身而龙首”相符，当为上古龙马图腾的人在星空中找到的龙马。从贾湖文化来看，8000多年前有卜卦是事实，产生河图一类的图文是可能的。后来相传，成为“帝王受命之瑞”。诸子百家对河图洛书的文字多有记述。河图洛书是传统文化的重要组成部分，是阴阳五行术数的源头活水，太极、八卦、周易、奇门、六壬、九星、风水等皆可追源至此。

（一）河图

河图反映的是以地球为中心的宇宙空间结构，为先天本体宇宙模式，或称广义宇宙图。河图中共有代表“天地之数”的五十五数，以白点为单数为阳，代表天；以黑点为双数为阴，代表地。一阳六阴，位于宇宙之北，二阴七阳位于宇宙之南，三阳八阴位于宇宙之东，四阴九阳位于宇宙之西，五阳十阴位于宇宙之中，即人类生存的地球。又以一二三四五为生数，六七八九十为成数。北方，阳气初生之地，“天一生水，地六成之”；东方，日出之处，阳气渐长，“天三生木、地八成之”；南方，阳气盛极而阴生，“地二生火，天七成之；西方，日落之处。阴气渐增，“地四生金，天九成之”；中央为中心太极，“天五生土、地十成之”。奇数得阳而合，偶数得阴而居，说明天地之道孤阴不生，独阳不长，而必须阴阳相合，互根互存，其左旋（顺时针方向）表示五行相生，一六水生三八木，三八木生二七火，二七火生五十土，五十土生四九金，四九金生一六水，四正之数相对表示生中有克，寓克于生，体现出奇偶相配、生成相依、阴阳聚会的特点。

在河图中，一奇生于北内，三奇长于东内，七奇出于南外，九奇尽于西外；二偶生于南内，四偶长于西内，六偶出于北外，八偶尽于东外；呈旋涡结构，表现出河图具有循环规律。“以生数视之，则成数起于内，成数起于外，生数起于一而止于五，成数起于六而终于十。五为奇数之中，为生数的殿堂、成数的桥梁，体现了土生万物、土为万物之母地思想。一、二、三、四为四象之位，六、七、八、九为四象之数。六为老阴，九为老阳，‘二老位于西、北’；八为少阴，七为少阳，‘二少位于东、南’。阳主进，故由少阳之七逾八至九，而其进已极。阳数长，故少阳之七长于六，老阳之九长于八；阴数消，故少阴之八消于九，老阴之六消于七。阴阳生于内者，由微而趋盛；即盛而外出者，由盛而渐衰，表明阴阳进退消长之理。河图还体现奇偶相配、生成相依、阴阳聚合的特点。古人认为八卦是由河图演推出来。八卦与河图配置亦体现阴阳五行的流转和运行。（据《易学大辞典》张其成主编）”一、三、五、七、九为阳数左旋；二、四、六、八、十为阴数左旋；皆为顺时针旋转，为五行万物相生之运行。我们知道，银河系等各星系俯视皆右旋，仰视皆左旋。所以，“生气上转，如羊角而升也”。故顺天而行是左旋，逆天而行是右旋。所以顺生逆死，左旋主生也。阳数相加为25，阴数相加得30，阴阳相加共为55数，与系辞中：“天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五。此所以成变化而行鬼神也。”由此可见，宇宙万物皆由天地之数化生而来。

 

九宫天干分布图

在十天干之数中，甲一、乙二、丙三、丁四、戊五、己六、庚七、辛八、壬九、癸十，其天干相合之数正好与河图交合之数相吻合。在河图中：一、六共宗，二、七同道，三、八为朋，四、九为友，五、十同德。正是万物生存之数。所以甲己合为一、六共宗，乙庚合为二、七同道，丙辛合为三、八为朋，丁壬合为四、九为友，戊癸合为五、十同德。十天干经交合之后，化为天干交合之五行，将河图五行之体化为天干五行之用。《河图》之象，按古人坐北朝南的方位观之，则前为朱雀，后为玄武，左为青龙，右为白虎，从而形成风水峦头象形之说。据王大有先生研究：“河图为宇宙模式，象征天，不论作方图，还是作圆图，按1—3—7—9和2—4—6—8联线，都是周流不息的S太极共和曲线旋臂结构，这是天道自身运行轨迹。地球自转和太阳公转，都是左旋，即自西向东转，逆时针转。”                           

 

河图配后天八卦图

清代经学家江永在《河洛精蕴》中认为：河图本为先天八卦之本。然水北、火南、木东、金西，已含后天八卦之位，后天八卦即由河图变生而来。五行论其常，水、火、木、金、土各二；论其变，则水火以精气为用，故专于一；木金土以形质为用，故分为二。如此，则河图一为水，为坎，六并之；二为火，为离，七并之。东方八，进居东南隅位，为巽阴木；西方九，退居西北隅位，为乾阳金。东北隅位、西南隅位为虚空，于是中央五、十入用。五随三阳，位于东北，为艮阳土，十随三阴，位于西南，为坤阴土。以二土为界，二金与二木相克，水与火对克，故河图又为后天八卦之本源。

（二）洛书

洛书为后天宇宙模式，或称狭义宇宙图。洛书是由河图演化而来的，将河图中的四九与二七易位则形成洛书，近代易学大家杭辛斋先生说：“后天离日震出，震居先天离位，而离火本天亲上，升居乾位。太一紫宫，离纳甲数九，河图南位二与七合，积极数本九，后天分体为用，以二纳坤，乃以西九移南，与七互易，遂成洛书西南一面六七二九之序。其何以七九之必互易者，则所谓变理阴阳，酌盈剂虚，以成易道之妙用者也。（《易数偶得》）”也就是说，河图中的西方四九之金与南方的二七之火互换位置，便可形成洛书。河图之体，二七火居南方，四九金居西方，先天八卦离在东方，后天八卦震居先天离位，离火炎上而升至先天乾位而数九，河图南方二七本九，后天则分而为用，以二纳于坤，西方之九移于南方，九七互易，则形成洛书图式。其“易位”之道，体现出阴阳相济、生生不息的太极学原理。

洛书结构为“戴九、履一、左三、右七、二四为肩、六八为足、五居中央、龟背之象也”（《易楔图书》蔡元定语）。图式总数为四十五数，其纵横对角之数的和均为十五数，以一、三、七、九为奇数，奇数为阳；以二、四、六、八为偶数，偶数为阴。阳数为主，位居四正，以示天气；阴数为辅，位居四维，以示地气；五居中央，为土之气，土能生万物，为五行之祖，位居中宫，为太极，是天地之和的象征，在五行中起调和作用。洛书图式体现了事物阴阳平衡、得其中和、来复反转、生化不已的天道运行规律，阳气由北方始生，按顺时针方向左旋转，阳气递增，至东方渐盛，达南方后极盛，阳极则阴生，至西方阴气渐盛，达北方后阴气盛极，阴极则阳生。与奇门遁甲阴阳局的转换完全相合，如此阴阳变化，反映了事物运动升降往复的周期性，成为世界万物不断变化、发展、更新的自然法则。

 

古人认为，洛书即洪范九畴。《汉书·五行志上》认为,《尚书·洪范》中从“初一曰五行”到“长用六极”是《洛书》本文。《易纬·乾凿度》所说太乙行九宫之法，成为后世所用之洛书。如《黄帝内经·灵枢·九宫八风篇》中云：“是故太乙入徙，立于中宫，乃朝八风，以占吉凶也。”《易纬·乾凿度》中又说：“易一阴一阳合为十五之谓道。阳变七之九，阴变八之六，亦合于十五，则彖变之数若一。阳动而进，变七之九，象其气之息也。阴动而退，变八之六，象其气消也。故太乙取其数以行九宫，四维四正皆合于十五。”郑玄注：“太乙者，北辰之神名也。居其所曰太乙出入所游，息于紫宫之内外，其星因以为名焉。四正四维，以八卦神所居，故亦名之曰宫。太乙下行八卦之宫，每回还于中央，中央者，北辰之所居，故因谓之九宫。天数大分以阳出，以阴入，阳起于子，阴起于午，是以太乙下九宫，从坎宫始，坎中男，是以言无始也；自此而从于坤宫，坤母也；又自此而震宫，震长男也；又自此而巽宫，巽，长女也；所行者半矣，还息于中央之宫；即又此而从于乾宫，乾，父也；自此而从于兑宫，兑，少女也；又自此而从于艮宫，艮，少男也；又自此而从于离宫，离，中女也；行则周矣，上游息于太乙天一之宫。”由此可见太乙（即天一）运行与地之九宫的对应关系。太乙所行九宫为：中央招摇，北宫叶蛰，东北天留，东宫仓门，东南阴洛。南宫上天，西南玄委，西宫仓果，西北新洛。太一移宫的日期为冬至、立春、春分、立夏、夏至、立秋、秋分、立冬八节。八节又与八风相应。八卦的八个方位加上中央就是九宫。八卦的方位与八节对应，从日运行方位和斗柄指向均可得到证明。以后天八卦为例，震为东，代表春分；巽为东南，代表立夏；离为南，代表夏至；坤为西南，代表立秋；兑为西，代表秋分；乾为西北，代表立冬；坎为北，代表冬至；艮为北，代表立春。后天八卦由周文王所创，伏羲所创的先天八卦则是：震东北立春，离东春分，兑东南立夏，乾南夏至，巽西南立秋，坎西秋分，艮西北立冬，坤北冬至。

 

欧阳红先生在《易图新辫》中说：“洛书之‘四正四维皆合于十五’数阵，在易学发展中影响甚广，渗透颇深。自《易纬》首配八卦，到《内经灵枢》成八宫九风篇，《内经太素》有九宫八风图，其后象数易家以及纳象数解易之义理易家，无不广采其说，数术易如奇门遁甲术，兵家易如九宫八卦阵，莫不源于此。”他又说：“洛书用数为九，河图用数为十，较洛书多一数即十。河图用十，是突出生化，（生成变化）。0为基，1为初，9为极，10为满；满则进，进而再生，再生又为零。在十进制中，进位的是0，是新一轮的0。因此河图用10，是易理周而复始之义，即再生再造。再生就是复归，转化、升华，是物质之不灭。洛书用九，1为始，9为终，9不进，复为1，是突出循回、周始、孕育、旧的终结为新的诞生之交接。河洛数理是宏观论、整体论与微观论、个别论的统一。”

洛书：“右旋（逆时针）体现五行相胜之理。一六水克二七火，二七火克四九金，四九金克三八木，三八木克中五土，中五土克一六水。其四正四隅相对，表示五行相生。一与九相对，六与四相对，九四金生一六水；二与八相对，三与七相对，三八木生二七火。克中有生，寓克于生。象征阳的奇数是三相乘得来，１×３＝３，３×３＝９，９×３＝２７，２７×３＝８１······表示阳气升已而降；象征阴的偶数是以二相乘得来，２×２＝４，４×２＝８，８×２＝１６，１６×２＝３２······表示降已而升。如此阴阳升降，反映了事物运动升降往复的周期变化规律。中央五数为土，在洛书五行中起到调和作用，致使纵横斜数合和为十五，体现万物相对平衡、相对稳定状态，同时有生机藏于中的意思。奇数居正位，偶数居隅位，反映阳主动、阴主静，阳化气、阴成形的含义，体现阴阳分居、生成分离的特点。”（引自《易学大辞典》，张其成主编）

洛书九宫方位又与后天八卦相对应，清代易学大家杭辛斋先生在《易楔》中说：“水、火、木、金、土，分阴分阳，有柔刚，各有配偶，共为十象，旧称八卦。土金木皆有二，惟水火各一，实未知震兑各具水火之用也，震兑为阴阳出入之门，日月往来之路，不啻五行生化之原，故后天与坎离皆居中位，坎离居先天乾坤之位，震兑即居先天坎离之位，参观内经，则阴阳升降，五行生化之作用，更显著矣。”

 

河图洛书先后天八卦图

洛书与后天八卦重合，又被称为“后天八卦之数”。洛书九与离卦配，一与坎卦配，三与震卦配，七与兑卦配，二与坤卦配，四与巽卦配，六与乾卦配，八与艮卦配。火上水下，故九数为离，一数为坎。燥火生土，故八次九而为艮。燥土生金，故七、六次八而为兑、为乾。水生湿土，故二次一而为坤。湿土生木，故三、四次二而为震、为巽。以八数与八卦相配而合后天之位。以奇数“一”在北方，表示阳气初生；“三”在东方，表示阳气逐渐增长；“九”在南方，表示阳气盛达顶峰，一阴始生；“七”在西方，表示阳气逐渐衰退，阴气愈强；复又至坎宫一阳始生之地，周而复始。描绘出时空运转、八卦相荡、万物一体的宇宙世界。我国著名天文学家赵定理教授指出：“……古天文的时空是时与空的统一，一一对应的时空。坐标系选择在观测地的地面，因地球自转和公转，这个古天文坐标系，是一个有加速运动的非惯性坐标系。由于坐标系中心，取为地面古天文观测者，因而，坐标系决定的时空，是时、空、人三者结合成一体的。也正因为如此，阴阳说才有因时、因地、因人而别的说法。不知有此者，可以说不明阴阳之理。”（《中华自然哲学的数理原理》，赵定理著）

 

河图之数为十，数至十而全，为数之常、数之体；洛书之数为九，数之变始于一而终于九，为数之变、数之用。南宋朱子（朱熹）的弟子、易学大家蔡元定在《易学启蒙》中说：“河图以五生数统五成数而同处其方，盖揭其全以示人而道其常，数之体也。洛书以五奇数统四偶数而各居其所，盖主于阳以统而肇其变，数之用也。”《启蒙》又云：“河图主全，故极于十，而奇偶之位均，论其积实，然后见其偶赢而奇乏也。洛书主变，故极于九，即其位与实，皆奇赢而偶乏也，必皆虚其中也，然后阴阳之数均于二十而无偏耳。”河图体现的是五行相生之次序，洛书体现的是五行相胜之次序。河洛二图生数一、三、五所处方位皆同，二、四所处方位不同，因而其成数七、九所处方位亦不同。洛书生数二居西南，四居东南，河图二居南、四居东。“盖阳不可易，而阴可易，成数虽阳，固亦生之阴也。”蔡氏之妙论可谓，道河洛之精蕴，释八卦之本源。

 

河图为体，洛书为用；河图主常，洛书主变；河图重合，洛书重分；方圆相藏，阴阳相抱，相互为用，不可分割。汉代刘歆认为：“河图洛书相为经纬”。（《汉书·五行志》注）南宋朱熹、蔡元定：“河图主全，故极于十；洛书主变，故极于九。”“河图以五生数统五成数而同处于方，盖揭其全以示人而道其常，数之体也。洛书以五奇数统四偶数而各居其所，盖主于阳以统阴而肇其变，数之用也。”并认为河图象天圆，其数为三，为奇；洛书象地方，其数为二，为偶（《易学启蒙》）。蔡沉：“河图体圆而用方，圣人以之而画卦；洛书体方而用圆，圣人以之而叙畴。”并认为河图主象、洛书主数；河图主偶、洛书主奇；河图主静、洛书主动（《洪范皇极·内篇》）。清万年淳以图之方圆论河洛关系，认为：“河图外方而内圆”，“中十点作圆布”，“外四圈分布四方，为方形，十包五在内，仍然圆中藏方，方中藏圆，阴中有阳，阳中有阴之妙也。而十五居中，即洛书纵横皆十五之数，是又河图包裹洛书之象。河图点皆平铺，无两折，洛书亦然”。“洛书外圆而内方，圆者黑白共四十数，圆布精其外，包裹河图之象”。“河图已具洛书之体，洛书实有运用河图之妙，因将图书奇偶方圆交互表之以图”（《易拇》）。近代杭辛斋认为：“河图为体而中有用，洛书为用而中有体”，“有以图书配八卦者，多拘执而不能悉当，其实河图为体、洛书为用，河图即先天，洛书即后天”，“故图与书，相互表里，不能分割”（《易楔》）。还有人认为河图重“合”，具有奇偶相配、阴阳互抱、生成相依的特点；洛书重“分”，具有奇偶分离，生成异位的特点，两者一分一合，体现对立统一、盛衰动静的辩证关系。（据《易学大辞典》，张其成主编）

据有关资料考证，河图洛书包含算盘的数学原理。首先，从数学原理看，河图洛书的数理特点与算盘的主要规则相吻合：其一，河图四侧的两数之差均为5，即一个大于5的基本自然数可表示为数5加上一个小于5的自然数，这与算盘珠码中把5颗下珠升作一颗上珠的五升制规则相对应；其二，洛书的纵、横和对角线方向上的三数之和均为15，这与算盘中每档7珠的示值相一致。其次，从历史发现看，尽管“操珠运算”的思想历史悠久，但最早记录的成熟算盘是宋初（公元960～1127年）反映人民生活的宏大画卷“清明上河图”，这幅图的左端有一架十五格（档）七个黑点（珠）的大算盘。而河图洛书尽管在先秦时期早有传说，但直到宋初才被世人所知。河图洛书的发现与算盘的产生的历史时间有着惊人的巧合。综上缘由，可以作一猜想，算盘的实物形态起源于珠，算盘的数学原理来自于河图洛书。