疯狂解题——费马点

如图，在已知△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离.

解决这个问题的方法有很多，我们今天主要通过旋转的方法来求解.

将△PBC绕点B顺时针旋转60°得到△P’BC’，连接P’P，C’C.

所以△P’PB为等边三角形，则P’P=PB，P’C’=PC，

所以PA+PB+PC=PA+P’P+P’C’.

因为点A，C’均为定点，当点A、P、P’、C’四点共线时，PA+P’P+P’C’的值最小.

结论：以三角形ABC的一边外构等边三角形，将所构等边三角形新顶点与原三角形的第三个顶点相连，即得最小值.

习题1：已知三村庄A、B、C构成了如图（E）所示的△ABC（其中∠A、∠B、∠C均小于120°），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，则输水管总长度的最小值为____________．

解析：以BC为边，在BC的下方构造等边三角形BCD，连接AD，则输水管总长度的最小值为AD的长，此时∠ABD=90°，BD=BC=4，所以AD=5，即最小值为5.

习题2：如图，已知矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，点M为矩形内一点，点E为AD边上任意一点，则MB＋MC＋ME的最小值为____________．

解析：如图，连接BE、CE，以BC为边构造等边三角形BCF，连接EF，由费马点可知ME+MB+MC的最小值为EF的长.

因为点E为AD上的动点，所以当FE⊥AD时，EF取最小值.