一、定理:
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
证明如下：
作点P关于直线AB的对称点P'，连接CP'，DP'.
易知CP=CP'，DP=DP'
根据连点之间线段最短可得，
PP'<><>
所以PD<>
二、定理的应用
（一）求线段最值问题中的应用
解：作AC的中点G，连接EG.
易证△CDF≌△CGE.所以DF=GE.
要使DF有最小值，只需GE取最小值.
根据垂线段最短可得，当GE⊥AD时，GE最小.
此时GE=1/2AG=3/2.
所以DF的最小值为3/2.
反思：本题实质上就是结合题中给出的等边三角形，构造了一对手拉手等边三角形。当然也可以从捆绑旋转的角度出发，先找到点F的运动轨迹，再构造全等三角形或直接建立坐标系求出轨迹的方程，运用垂线段最短加以解决.
2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3.点P是BC边的中点，点E、F分别是线段AC、AB上的动点.连接EP、EF，求EP+EF的最小值.
解：将△ABC沿AC折叠，点B落在点N处，AN交CD于点G,
点P落在CN上的点Q处.
连接EQ，则EP=EQ.
连接FQ，过点Q作QM⊥AB于点M.
则EP+EF=EQ+EF>=QF>=QM.
易证△ADG≌△CNG.
设DG=x,则AG=4-x.
在Rt△ADG中，根据勾股定理可得,
AG^2=DG^2+AD^2，即(4-x)^2=x^2+3^2
解得，x=7/8
即DG=7/8，AG=4-7/8=25/8.
所以sin∠GCN=sin∠DAG=7/25.
QM=CQ*sin∠GCN+CB=3/2*7/25+3=171/50.
所以EP+EF的最小值为171/50.
3、如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D是BC的中点，点E为AB上一动点． 点P沿DE--EA折线运动，在DE、EA上速度分别是每秒1和5/3个单位．设运动时间为t秒，试求t的最小值.
分析：由题可知t=DE+EA/(5/3)=DE+3/5EA.这是一个典型的胡不归问题.以A为顶点在AE的上方构造∠EAF，使得sin∠EAF=3/5.利用垂线段最短即可解决.
解：过点A作BC的平行线AG，则sin∠EAG=sin∠B=3/5.
分别过点E、D作EM⊥AG，DN⊥AG垂足分别是点M、N.
易知t=DE+3/5EA=DE+EM>=DM>=DN=DP+3/5PA
当点E和点P重合时取等号.此时DN=6
所以t的最小值为6.
（二）求线段取值范围中的应用
4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=2，点D是BC边上一个动点，连接AD，过点D作DE⊥AD交AB于点E.求线段AE的最小值.
简析：作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.
设AE=x,用含x的代数式表示出GF和DF，
由垂线段最短可得，GF<>
解：如图，作AE的中点F，连接FD.过点F作FG⊥BC于点G.
5、如图，△ABC是等边三角形，AB=4，点D，E分别在AB，AC上，（AD＜AE），将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处.求线段AD的最小值.
练习：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3,BC=4，P是BC边上一个动点，设BP=x,若能在AC边上找到一点Q，使∠BQP=90°，求x的取值范围.
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