【中考专题】最值系列之将军饮马（一）

如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营，问：将军怎么走才能使得路程最短

问题简化

如图在直线上找一点P使得PA+PB的值最小        

这个问题是PA+PB是折线段，根据已有知识“两点之间线段最短”和“垂线段最短”，我们应将折线段转化成直线段，作点A关于直线的对称点A’，则AP=A’P,AP+BP≥A'B，所以线段A'B与直线的交点即为点P。

模型变换一（一定两动之点点）

★如图点P为∠AOB内部一点，在OA、OB上求作两点M、N，使得△PMN周长最小。

此时作点P关于OA、OB的对称点P'和P''，则P'P=M P,P''P=NP,PM+PN+MN＝P'M+P''N+MN≥P'P''，所以线段P'P''与角两边交点即为所求。

【例题】点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为___________．

简析：由图形对称变换易得 

四点共线时三角形周长最小，

的长即为△周长，由∠AOB=30°可得

=60°，

=OP=8.

模型变换二（两定两动之点点）

★如图在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

模型变换三（一定两动之点线）

★如图在OA、OB上分别取M、N，使得PM+MN的值最小

图中M为折点，作点P关于OA的对称点P',将折线段PM+MN转化为P'M+MN，即作P'N⊥OB于N，交OA于M，此时P'M+MN最小（垂线段最短）。

几何图形中的将军饮马

将军大战正方形

【例1】如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一动点，则△DMN周长的最小值是____

       

简析：考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N，此时△DMN周长最小，在Rt△BCM中求BM=5即为所求。

【例2】如图在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为____　　 

         

简析：求得点D关于OA对称点D'（0，2），易通过“8”字相似求出CD'与OA交点为(8/3,8/3).

将军大战三角形

【例1】如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是_____

简析：B点对称点是C，CN长就是所求最小值，勾股定理求得2√7

【例2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6．AB=12，AD平分∠CAB，点F是AC的中点，点E是AD上的动点，则CE+EF的最小值为 ____　　 

   

简析：c'F长度等于BC一半，结果3√3

【例3】如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是2√3

      

将军大战菱形

【例1】如图，在菱形ABCD中，AC= ，BD=6，E是BC的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值是_____        

 

简析：根据面积法易得EM'=2√6