初中数学几何模型，将军饮马问题讲解，视频讲解更容易学

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一个有趣的数学问题，称为“将军饮马”问题。

【提出问题】

如图1，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军营B处，请问：将军怎么走能使得路程最短？

【问题简化】如图2，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

【问题解决】作点A关于直线的对称点A'，连接PA'，则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB

当A'、P、B三点共线的时候，PA'+PB=A'B，此时为最小值。

【拓展模型1】在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【拓展模型2】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。  

特点：①动点在直线上；②起点，终点固定；

方法：作定点关于动点所在直线的对称点。

典型例题视频讲解

1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E，F分别为边AB，AD的中点，点M，N分别为BC，CD上的动点，求四边形EFNM周长的最小值．

2、如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC，CD上分别存在点G，H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°，∠B=∠E=90°，AB=BC=1，AE=DE=2， 在 BC、DE 上分别找一点 M、N．

(1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝     ；

(2)求△AMN 的周长最小值．

4、如图，正方形ABCD的边长为 4，点E在边BC上且CE＝1，长为根号2的线段MN在AC上运动．求四边形BMNE周长最小值；当四边形BMNE的周长最小时，求tan∠MBC的值。（此题有一定难度，理解不了的同学请看视频讲解）

5、如图，已知函数y=kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点 A 的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y=kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为   ．