如图，点P（

（2014·乐山）如图，点P（-1，1）在双曲线上，过点P的直线l₁与坐标轴分别交于A、B两点，且tan∠BAO=1．点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D．则四边形ABCD的面积最小值为（　　）

A．10

B．8

C．6

D．不确定

考点：反比例函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题．

专题：综合题；待定系数法；配方法；判别式法．

分析：设直线l₁的解析式为y=mx+n，根据P（-1，1）在直线l₁上以及tan∠BAO=1求得A、B点坐标；设反比例函数为y=

k

x

，结合P（-1，1）在反比例函数图象上求得解析式为y=-

1

x

，设M点横坐标为a，进而可得M点坐标（a，-

1

a

）；再设直线l₂的解析式为y=bx+c，根据条件“过点M的直线l₂与双曲线只有一个公共点”，将M点坐标代入直线l₂的解析式，求得用a表示的C、D两点坐标．由A、B、C、D四点坐标，可得AC、BD的长，因为AC⊥BD，有S_{四边形ABCD}=

1

2

AC·BD，据此得到一个关于a的式子，通过化简、配方即可求得S_{四边形ABCD}的最小值．

解答：解：设反比例函数的解析式为y=

k

x

，

∵点P（-1，1）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴k=xy=-1．
∴反比例函数的解析式为y=-

1

x

．
设直线l₁的解析式为y=mx+n，
当x=0时，y=n，则点B的坐标为（0，n），OB=n．
当y=0时，x=-

n

m

，则点A的坐标为（-

n

m

，0），OA=

n

m

．
∵tan∠BAO=1，∠AOB=90°，
∴OB=OA．
∴n=

n

m

∴m=1．
∵点P（-1，1）在一次函数y=mx+n的图象上，
∴-m+n=1．
∴n=2．
∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，2）．
∵点M在第四象限，且在反比例函数y=-

1

x

的图象上，
∴可设点M的坐标为（a，-

1

a

），其中a＞0．
设直线l₂的解析式为y=bx+c，
则ab+c=-

1

a

．
∴c=-

1

a

-ab．
∴y=bx-

1

a

-ab．
∵直线y=bx-

1

a

-ab与双曲线y=-

1

x

只有一个交点，
∴方程bx-

1

a

-ab=-

1

x

即bx²-（

1

a

+ab）x+1=0有两个相等的实根．
∴[-（

1

a

+ab）]²-4b=（

1

a

+ab）²-4b=（

1

a

-ab）²=0．
∴

1

a

=ab．
∴b=

1

a2

，c=-

2

a

．
∴直线l₂的解析式为y=

1

a2

x-

2

a

．
∴当x=0时，y=-

2

a

，则点D的坐标为（0，-

2

a

）；
当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0）．
∴AC=2a-（-2）=2a+2，BD=2-（-

2

a

）=2+

2

a

．
∵AC⊥BD，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

AC·BD
=

1

2

（2a+2）（2+

2

a

）
=4+2（a+

1

a

）
=4+2[（

a

-

1

a

）²+2]
=8+2（

a

-

1

a

）²．
∵2（

a

-

1

a

）²≥0，
∴S_{四边形ABCD}≥8．
∴当且仅当

a

-

1

a

=0即a=1时，S_{四边形ABCD}取到最小值8．
故选：B．

点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道好题．