已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.①求证:△OCP∽△PDA
(2014·扬州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.
(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.
①求证:△OCP∽△PDA;
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边AB的长;
(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求∠OAB的度数;
(3)如图2,
,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连结MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当点M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长度.
分析:(1)只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似,然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系,然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长,从而求出AB长.
(2)由DP=
DC=
AB=
AP及∠D=90°,利用三角函数即可求出∠DAP的度数,进而求出∠OAB的度数.
(3)由边相等常常联想到全等,但BN与PM所在的三角形并不全等,且这两条线段的位置很不协调,可通过作平行线构造全等,然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半,只需求出PB长就可以求出EF长.
解答:解:(1)如图1,
①∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.
由折叠可得:AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B.
∴∠APO=90°.
∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC.
∵∠D=∠C,∠APD=∠POC.
∴△OCP∽△PDA.
②∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,
∴
=
=
=
=
.
∴PD=2OC,PA=2OP,DA=2CP.
∵AD=8,∴CP=4,BC=8.
设OP=x,则OB=x,CO=8-x.
在Rt△PCO中,
∵∠C=90°,CP=4,OP=x,CO=8-x,
∴x
2=(8-x)
2+4
2.
解得:x=5.
∴AB=AP=2OP=10.
∴边AB的长为10.
(2)如图1,
∵P是CD边的中点,
∴DP=
DC.
∵DC=AB,AB=AP,
∴DP=
AP.
∵∠D=90°,
∴sin∠DAP=
=
.
∴∠DAP=30°.
∵∠DAB=90°,∠PAO=∠BAO,∠DAP=30°,
∴∠OAB=30°.
∴∠OAB的度数为30°.
(3)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2.
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP,∠ABP=∠MQP.
∴∠APB=∠MQP.
∴MP=MQ.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴PE=EQ=
PQ.
∵BN=PM,MP=MQ,
∴BN=QM.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF.
在△MFQ和△NFB中,
.
∴△MFQ≌△NFB.
∴QF=BF.
∴QF=
QB.
∴EF=EQ+QF=
PQ+
QB=
PB.
由(1)中的结论可得:
PC=4,BC=8,∠C=90°.
∴PB=
=4
.
∴EF=
PB=2
.
∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,长度为2
.
点评:本题是一道运动变化类的题目,考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识,综合性比较强,而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键.
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