安徽中考23题预测

23.在等边三△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，点D为△ABC外一点，且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC. 探究:当M，N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系。

(1) 如图1：当点M、N在AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是________,此时Q:L= _______

(2) 如图2：点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并证明；

(3)如图3，当M、N分别在边AB、AC的延长线上时，若AN=x，则Q=_______(用x,L表示)

解：(1)BM CN=MN, 2:3

(2)两个结论仍然成立。

将△DCN以D点中心逆时针旋转120°，得到△DBN’，如图所示，

∴DN=DN’，CN=BN’，∠CDN=∠BDN’，∠N’BD=∠NCD

又∵∠BAC=60°，∠BDC=120°

∴∠ABD ∠ACD=180°，所以点A、B、N’三点在同一条直线上。

∵∠NDM=60°∴∠BDM ∠CDN=60°∴∠MDN’=∠MDN=60°

在△MD N’和△MDN中

DN’=DN  ∠N’DM=∠NDM   DM=DM

∴△MD N’≌△ MDN

∴MN=MN’=BM BN’=BM CN

∴Q=AM MN NA=AM BM CN AN

=AB AC=2AB

L=AB BC AC=3AB 即Q:L=2:3

(3) 仍将△DCN以D点中心逆时针旋转120°，得到△DBN’，如图所示，

∴CN=BN’

同理（同第2小问）可证：△MD N’≌△ MDN∴MN=MN’

∴Q= AM MN NA=AB BM MN’ NA

=AB CN NA= AB CA NA NA