初中三角形添辅助线——旋转，找到这个共性就会用

大家好，我是徽乡小居。今天讲解初中三角形非常重要也是很难的一种添辅助线思想方法——旋转。经过2天的细心筛选整理，对旋转法有自己的总结、心得，可以编写内容了。废话少说，我们来看第一题。

概念： 一个图形绕某点转动一个角度称为旋转变换。

1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠A＝90°，P是△ABC内的一点，PA＝1，PB＝3，PC＝√7（根号7），则∠CPA＝_____________.

思路分析：通过观察、分析必须要作辅助线才能解，看AB=AC，P是△ABC内的一点容易想到旋转法，因为旋转法必须有两边相等才能通过旋转构造全等三角形。如下图所示，将△ABP绕逆时针旋转90°得到△ACQ，根据旋转的性质可得出∠QPA=45°，根据勾股定理可证出∠PAQ=90°，从而得出答案。

总结：旋转思想添辅助线具有的共性:两边相等且共点，发现这样的特点就注意用旋转思路巧解题了。本题考查了等腰直角三角形及旋转的性质，难度大，很难想到将△ABP正确的旋转.

升华：旋转变换的思想作辅助线的三大作用：

一、将几何图形中彼此孤立的线段或角绕某点旋转后，使其之间的数量关系或大小关系明朗化；

二、将几何图形中的某个图形绕某点旋转后，使复杂问题简单化；

三、能够从整体把握多条辅助线的作法。

再来看第二题，不用旋转来做还真难办。

2.如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC内有一点P，若∠APB=∠APC，求证：∠PBC=∠PCB.

思路分析：这道题很多学生以为简单，拿起了猛做，越做越不对劲。看这道题AB=AC，且共点A，可以用旋转变换来考虑，这样就打开正确之门做出来。如下图所示，把△ABP绕点A旋转到△ACP1，连接PP1，AP=AP1，PB=P1C，通过等腰三角形的性质，最后得出PC=P1C=PB ,从而得证.

总结:遇到困难时，注意观察题目条件特点，从而用旋转变换来证明。本题考查旋转的性质和等腰三角形的性质。解题的关键在于熟练掌握及灵活运用旋转法。

好，看下面这道题，是不是可以自己做了呢？

3.正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.

思路分析：是不是同样的味道，同样的感觉，AB=AD，共点A。如下图所示，将△ADF顺时针旋转90°到△ABG。易证△ABG≌△ADF，从而得到AF=AG，进而求证△AEG≌△AEF可得∠EAG=∠EAF，即可求出∠EAG+∠EAF=90°.

我们再来看第4题，也具有旋转的共性，可用旋转思想来解题。

4.如图所示，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．试探究线段CN、BM、MN之间的关系，并加以证明．

思路分析：现在对旋转法熟悉了吧，那么这道题明显旋转△BDM到△CDM1如下图所示。通过证明△MDN≌△NDM1就得到了。这道题证明三条线线段和差关系也可以用截长补短法来添辅助线。

证明：如图所示，延长AC至M₁，使CM₁＝BM，连接DM₁．

∵ △ABC是正三角形，∴ ∠ABC＝∠ACB＝60°．

∵ ∠BDC＝120°，且BD＝CD，

∴ ∠DBC＝∠DCB＝30°．

∴ ∠ABD＝∠ACD＝90°．

又∵ BD＝CD，BM＝CM₁，

∴ Rt△BDM≌Rt△CDM₁(SAS)．

∴ DM＝DM₁，∠BDM＝∠CDM₁，

∴ ∠MDM₁＝∠MDC＋∠CDM₁＝∠MDC＋∠BDM＝∠BDC＝120°．

又∵ ∠MDN＝60°．∴ ∠M₁DN＝∠MDN＝60°．

又∵ DM＝DM₁，DN＝DN，∴ △MDN≌△M₁DN(SAS)．

∴ MN＝M₁N＝NC＋M₁C＝CN＋BM．

到这里想必旋转思想添辅助线已经学会了，那么一起来练练两道题吧。

5.如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ.若PA=6，PB=8，PC=10，则四边形APBQ的面积为 .

【答案】24+9√3（根号3）

6.D为等腰Rt△ABC斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。

（1）当∠MDN绕点D转动时，求证 DE=DF。

（2）若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。

第6题答案