4.3 微分
4.3.1微分的概念
我们们先分析一个具体的实例：
试求一块正方形金属薄片受温度变化的影响边长由变到
+时，面积的增量．
解：因为边长为的正方形面积，
从变到+时，面积增量：
是的一次函数，()是比更
高阶的无穷小．这时，我们称为函数
在的微分．记为：
一般地，
定义4.3.1 设函数在的某邻域有定义，在点处任给增量（+在已知邻域内），如果函数增量可写成：
=
其中是与无关的常数．则称在处可微，并称为在处的微分，记为：．
4.3.2可导与微分的关系
定理4.3.1 函数在可微充分必要条件是在可导且
证明：()设在可微，则对处任意增量，有
=
其中是与无关的常数，则有
从而,
于是，在可导，且．
(设在可导，即
故,
其中
所以,
因为， 故在可微．
由此可知：对一元函数来讲，可微与可导等价；微分实质是导数的另一种表示，且有公式
特别地，在时，，即当将看成函数时，“自变量的微分”等于自变量的增量．因此为了形式上统一，我们约定自变量的微分就是自变量的增量．即，故在的微分可改写为：
即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商．这就是导数为什么又称为微商的理由．
微分的几何意义：
在直角坐标系中，函数的图象是一条曲线，如图4-3-2，在该曲线上任取一点，且过点作曲线的切线，它与轴的交角为，则该切线的斜率为:
当自变量从处得增量时，就得到曲线上另一点，于是，曲线的纵坐标就得到相应的改变量
同时，处的切线纵坐标也相应的改变，在直角三角形中，有：
由此可见，函数的微分的几何意义就是：在某点处，当自变量取得改变量时，曲线在该点处的切线之纵坐标的改变量．
4.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
我们知道，对一元函数来讲，可导与可微是等价的．因此，我们可以得下列基本初等函数的微分公式：
（是常数）
,
由和、差、积、商的求导法则，可推得相应的微分法则：
设在可微，且在商的情形，则
对于这四个公式，我们只证(3)，其他三个公式用类似的方法证明．根据微分的定义和乘积的求导法则，有
现在我们介绍复合函数微分法则
定理4.3.3 设在可微，在可微，则复合函数在可微，且
(1)
证明：由微分的定义和复合函数求导法则有：
因为，所以，
在上述定理的(1)式中，可以看出：函数，当是中间变量，即时函数的微分总可以写成形式：
(2)
换言之，对于，无论是自变量还是中间变量，函数的微分都具有形式：. 微分的这种性质，称为一阶微分形式的不变性．
另外，我们应该注意到：无论上面的(1)式还是(2)式都告诉了我们复合函数的微分的一般方法：逐次微分法．
典型例题：
例4.3.1 求函数处的微分．
解：先求函数在任意点处的微分
因为
所以，
例4.3.2 求函数，当，时的微分．
解：函数在任意点的微分为：
所以 .
例4.3.3 求下列各函数的微分．
(1) (2)
(3) (4) )
解：利用逐次微分法
(1)
(2)
(3)
(4)
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