微分与导数

定义1

对于函数

定义域中的一点x₀，若存在一个只与x₀有关，而与Δx无关的数g(x₀)，使得当

时，关系式

恒成立，则称f(x)在x₀处微分存在，或f(x)在x₀处可微。

若函数

在某一区间上的每一点都可微，则称f(x)在该区间上可微。

    由定义可知，若f(x)在x处可微，那么当

时，有

若

则有

而

又可以看作是Δx的线性函数，因此这一项也被称为Δy的线性主要部分，当|Δx|充分小时，若用

代替Δy，产生的偏差将会很小。因此又将线性主要部分称为f在点x₀处的微分，记作

或

当不需要强调x₀时，也简记为

或

当

时，

因此自变量的微分就等于自变量的增量，从而因变量(函数)的微分也记为

或

    值得注意的是，微分是函数增量用自变量的增量表示时的线性(主要)部分，而不能理解为很小的量。

定义2

若在函数

的定义域中的一点x₀处的极限

存在，则称f(x)在x₀处可导，并称这个极限值为f(x)在x₀处的导数，记为

(或

)

若函数

在某一区间上的每一点都可导，则称f(x)在该区间上可导。

根据上述定义可以得到以下关系式

因此，导数也可以看成因变量的微分与自变量的微分之比，所以导数也称为"微商"。上述两式给出了导数与微分之间的联系，也可以据此得到以下定理：

定理

函数

在x处可微的充分必要条件是它在的x处可导。

    上述定理表明一元函数的可导性与可微性是等价的。此外，容易证明函数在某一点处可导(可微)，则必然在该点连续。

    根据导数的定义可以得知，函数在某一点处导数的几何意义为函数在直角坐标系中刻画的曲线在点处切线的斜率。对导数再求导可以得到二阶导数，继续逐次求导则可以得到更高阶的导数。