10.2 二元函数的极限和连续性
了解二元函数的极限和连续性的概念。
10.2.1 二元函数的极限
定义10.2.1. 设函数在点集
上有定义，点是的一个聚点，若，当
时，恒有： , 则称函数在存在极限且极限是,记为.此极限也称为函数在点的二重极限．
定理10.2.1. 充分必要条件是，
, 时，恒有
．
定理10.2.2 若函数与在点存在极限，则
1
2
3
定义10.2.2. 若当x→a时(y暂时看作常数)，二元函数存在极限，设；且当y→b时，函数存在极限，设：
则称是二元函数在点的累次极限．同理可定义另一个不同次序的累次极限，即
其中 ．
定理10.2.3 若二元函数在点的二重极限和两个累次极限都存在，则
10.2.2 二元函数的连续性
定义10.2.3 设二元函数定义在点集上，点，并且是的聚点，若
则称二元函数在点连续．
二元函数在点连续的“”定义途述为：
当且仅当,, :
且时，恒有．
定义10.2.4 若点集的任意点都是的聚点，且二元函数在任意
点都连续，则称在连续．
定义10.2.5 若二元函数在点不连续，则称点是二元函数的不连续点或间断点．
定理10.2.3 若二元函数与在点处都是连续的，则二元函数，，在点也都连续．
定理10.2.4 若二元函数在连续且二元函数在点连续，则复合函数
在点连续．
典型例题：
例10.2.1 讨论函数在的二重极限和两个累次极限．
解 考虑点沿抛物线趋于时，的
二重极限．
故随的变化而变化，不是一个确定常数，所以不存在．
又因
且
即在(0,0)的两个累次极限存在且相等，但二重极限不存在．
例10.2.2 讨论函数, 在点的二重极限以及两个累次极限．
解 是的定义域．而
对使得，, 并且时，恒有
故
但是，两个累次极限
都不存在．
例10.2.3 计算下列各极限
(1) ， (2)
解 (1) 因连续，故
．
(2) 因在点连续，故
．
例10.2.4 计算下列各极限
(1) (2)
解 (1)
．
(2)
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