13.3 格林公式及其应用
一、格林公式
本节将讨论的格林(Green)公式是建立区域D上的二重积分与沿区域D的边界曲线L的第二型曲线积分之间的联系．
为方便起见，我们规定所讨论的封闭曲线都是简单曲线，即自身不相交的曲线．
平面区域叫做单连通的，是指在D内任画一条封闭曲线，其所围区域整个在D内（或说，任意的封闭曲线都可以不经过D以外的点而连续的收缩为一点）；否则，就叫做多连通的（即有洞的情形）．
设区域D的边界是由一条或几条光滑曲线所围成．边界曲线L的正方向规定为：当人沿边界行走时，区域总在它的左边，如图所示，若沿与上述所规定的方向相反，则称为负方向，并记为．
定理在区域上连续且具有连续的一阶偏导数，则有
这里L为区域D的边界曲线，且取正向．
应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算．
二、曲线积分与路线的无关性
定义是一平面区域，如果对于D中
任意两点以及由A到B的任一路线都有
则称曲线积分在区域D与路线无关．
定理在闭域D内连续，且具有连续的一阶偏导数，则以下四条件等价：
1 沿D中任一按段光滑的闭曲线L，有
．
2 对D中任一按段光滑曲线L，曲线积分
与路线无关，只与L的起点和终点有关．
3是D内某一函数的全微分，即存在二元函数
在D内有
．
4 在D内每一点处有．
一般地，若在区域D内有，则对区域D内任意两点与，有
]
同理
即
三、全微分方程
定义
的左端可以写成某一个函数的全微分，即
则该方程称为全微分方程．
全微分方程可写成
所以，通解为
由定理是全微分方程的充要条件为：
因此，我们可以用上式来判断一微分方程是否是全微分方程．
典型例题：
例1． 应用格林公式计算：，其中L依逆时针方向绕圆周：的一圈．
解 因 ，所以 ，于是有
例2.. 求微分方程的通解．
解 (法一) ，，所以该方程是全微分方程．由(*)式，得
*-
通解即为
．
（法二）还可以用凑全微分的办法来求解．
故为微分方程通解．
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