旧版几何《4.9梯形》典型例题

典型例题

　　填空题:

　　例 下列命题：①一组对边平行且相等的四边形是梯形；②一组对边平行且不相等的四边形是梯形；③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是梯形；④一条直线与矩形的一组对边相交，必分矩形为两个直角梯形．其中真命题的序号是_______.

　　分析: 可采用反例法．即举的例子符合题没但不符合结论，从而说明原命题是假命题．①可举反例：平行四边形；②可证得另一组对边不平行，故符合定义；③可举反例：矩形；④直线与矩形垂直相交，则得到两个矩形．

　　答案  ②

　　说明：

　　梯形定义包括两个要素：1．一组对边平行；2．另一组对边不平行；不要认为只要有一组对边平行的四边形就是梯形．

　　阅读题：

　　例 （青海省2001年中考题）阅读了题和分析过程，并按要求进行证明．已知，四边形

中，

，

，

，求证：四边形

是等腰梯形．

　　分析：要证四边形

是等腰梯形，因为

，所以只要证四边形

是梯形即可；又因为

，故只需证

即可；要证

，现有下图所示四种添作辅助线的方法，请任意选择其中两种图形，对原题进行证明．

　　解答略.

　　说明：这是一道设计得很好的阅读型试题．题目不仅给出了分析思路，还提供了四个已有辅助线的图形，说明本题有多种解法．但是，这些方法，体现了一个基本思路：努力转化，借助三角形知识加以突破，完成证明．

　　证明题：

　　例  如图，在梯形

中，

，

，

、

为

、

的中点。

　　求证：

　　分析：梯形的问题往往转化成平行四边形或三角形来处理，根据条件来决定转化和辅助线的添加.

　　证法一：如图，延长

，

相交于

点，连结

，

.

　　∵

　　

　　∵

、

为

、

的中点，∴

，

　　∴

，

　　∵

　　∴

　　∴

　　∴

、

、

三点共线　　∴

.

　　证法二  如图，过点

，作

　　交

于

，

交

于

　　∵

，

　　∴四边形

是平行四边形

　　∴

　　同理：

　　∵

  ∴

　　∵

　　∴

　　∵

　∴

，

　　∵

　∴

　∴

　　∵

　∴

　即

　　证法三  如图，过点

作

交

于

，

交

于

.

　　∵

，

　　∴四边形

是平行四边形

　　∴

　　同理：

　　∴

，

　　 

　　∵

  ∴

　　∵

  ∴

　　∵

  ∴

  ∴

　　∴

  ∴

即

. 

　　说明：解题时要注意分析条件和结论，选择合适的切入点.

梯形典型例题之作图题

　　例  已知两底边及两条对角线求作梯形．

　　已知：线段

，

，

，

　　求作：梯形

，使

，

，

，

，

．

　　分析  如图，假设梯形

已作出，

，

，

，

，

，延长

到

，使

，连结

，则四边形

是平行四边形，所以

，故先作

．

 

　　   作法（l）作

，使

，

，

．

　　（2）过点

作

，使

　　（3）在

上截取

，连结

，

　　∴  四边形

为所求作的梯形．

　　证明   ∵

，

，

，

，

　　∵

    ∴四边形

是平行四边形

　　∴

  ∴梯形

就是所求作的梯形．

　　讨论： 如果

，

，

三条线段中，最长的一条线段大于或等于其他两条线段之和，则此作图题无解．

梯形典型例题之面积题

　　例  如图，在梯形

中，

，

为

的中点．

　　求证：

.

  

　　分析：梯形的问题往往转化成平行四边形或三角形来处理，根据条件来决定转化和辅助线的添加. 

　　证法一  如图，延长

交

的延长线于

．

　　  ∵

    ∴

，

　　  ∵

  ∴

　　  ∴

，

   ∴

是

的中线

　　 ∴

　　 ∴

　　 ∴

　　证法二  如图，过

点作

交

于

，交

的延长线于

.

　　∵

  ∴

　　∵

   ∴

　　∴

  ∴

　　∵

  ∴

　　说明：解题时要注意分析条件和结论，选择合适的切入点.