曹培英
数学思想的重要性不言而喻。许多数学家以及数学教育家都有一些精辟的论述。例如，弗利德曼曾指出： “数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想。整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的。”［１］然而，数学思想成为小学数学课程的有机组成部分，却有着一个逐步发展的过程。
一、数学思想融入小学数学课程的回顾
在我国，数学思想受到一线小学数学教师的关注，始于 １９７８ 年 小 学 数 学 教 学 大 纲 的 印 行。在当时 “四个现代化”建设的大背景下，这份首次将 “小学算术”更名为 “小学数学”的教学大纲明确提 出： “适 当 渗 透 一 些 现 代 数 学 的 思想……通过直观，使学生尽早接触集合、函数、统计等一些现代数学的思想，可以扩大学生的知识面，加深对某些内容的理解，有利于进一步学习数学和现代科学技术。”［２］这是小学算术学科演变为小学数学学科的内涵发展之一。但渗透、接触数学思想，主要是为知识教学服务。小学数学教材与广大教师也正 是结合具体 的 数学教学内容，有机地渗透了数学的思想，在这方面积累了较为丰富的经验。
２１世纪初，《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的 “基本理念”部分，不仅指出 “数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”，还强调 “在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”。［３］由此，数学思想开始与数学知识、技能 “平起平坐”，不再只为他人做嫁衣。伴随数学文化成为教学中广受关注的热点，数学思想也逐渐显现 它 在数学文化 中的核心地位，因为没有思想就没有文化。
《义务教育数学课程标准 （２０１１ 年版）》 进一步将数学的基本思想列入了课程总目标，确立为 “四基”之一。无疑，这是我国数学课程改革迈出的重要一步。
可见，三十多年来，数学思想融入小学数学课程，经 历 了 从 内 容 渗 透 到 成 为 课 程 目 标 的过程。
二、从数学思想到数学基本思想
何为数学思想，历来众说纷纭。如有人认为“数学思想是人们对数学科学研究的本质及其规律的深刻认识”。［４］也有人说 “数学思想尚不成为一种专有名词，人们常用它来泛指某些有重大意义的、内容比较丰富的、体系相当完整的数学成果”。［５］
根据恩格斯关于数学的经典定义，数学是关于客观世界数量关系和空间形式的科学；根据工具书关于思想的解释 “客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果” “相对于感性认识的理性认识”，可以推演数学思想的界说：“所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它 是 对 数 学 事 实 与数 学 理 论 的 本 质 认识”。［６］如此界定自然外延比较宽泛。它包括基于数学学科内容的思想，如函数思想，方法论层面的思想，如数形结合，以及更高层次的数学哲学思想，如运动变化思想，等等。
直面客观存在的数学思想泛化倾向，如何提炼，史宁中教授给出了两条标准： “一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征”。进而“归纳 为 三 种 基 本 思 想， 即 抽 象、 推 理 和 模型”。［７］
这三种基本思想涵盖了数学的产生、数学的内部发展、数学与外部世界的联系，确实是众多数学思想中具有本质意义的重要思想。同时，又正好对应了数学的三大特征———高度的抽象性、逻辑的严谨性和广泛的应用性，因而也是理论数学、应用数学发展历程中起关键核心作用的思想。
这三种基本思想也是数学教育的内核。支持这一论点最主要的论据是：儿童思维的特点及其常识经验的局限性，决定了小学数学必须遵循从直观到抽象、从举例验证到算理解释、从联系日常生活到联系社会自然及其他学科。这些贯穿各年级的教学策略原则，既是广大教师追求有效教学长期实践经验的总结提炼，也是三种基本思想贯穿数学教育始终的客观反映。实践归纳与理论思辨在这里得到了相互印证。
三、数学基本思想与学科核心素养、学科育人价值
为了进一步推进素质教育，在 《教育部关于全面深化课程改革 落实立德树人根本任务的意见》这份文件中，出现了一个夺人眼球的词“核心素养体系”。核 心素养被誉为基础教育的ＤＮＡ。构建核心素养体系，是面向教育系统外部的社会需求，顺应国际教育改革趋向，提升我国人才培养质量，增强国 家核心竞争力 的关键环节。
核心素养体系作为国家对于教育的顶层设计，需要凸显它的整体性、综合性和 系统连贯性，自然强调跨学科的共同素养。进而，核心素养体系的层级化，又必然要求各学科在落实综合性核心素养的同时，彰显本学科独特的育人价值，确立学科自身的核心素养。所谓学科核心素养，粗略地说是指凸显学科本质，具有独特、重要育人价值的素养。
国际上无论是由政府主导还是由民间组织推动的核心素养架构或评价，都少不了数学素养或素养的数学领域。那么数学的核心素养有哪些？数学基本思想是否就是数学学科的核心素养？如果是，它们的学科育人价值何在？这些问题，可以综合起来回答。
首先，抽象、推理和模型思想分别对应三种具有一般意义的能力，即抽象能力、推理能力和应用能力，因而并非数学学科的独门秘 籍。文科、理科，凡是理论知识都有不同程度的抽象，都有不同表现形式的从个别到一般或从一般到个别以及从个别到个别的推理。同样，不仅数学学科有数学模型，其他学科也有自己的模型，如物理模型、化学模型等。因此可以认为，抽象、推理和模型有着跨学科共同素养的特征。
其次，抽象、推理和模型思想在数学教学中，又具有其他学科不可替代的育人价值。分述如下。
（一）抽象
对于学科来说，抽象是数学的首要特征，抽象为推理提供了对象，抽象了，才可能广应用。“两种事物，如果有相同的量或形，便可用相同的数学方法，因而数学必然、也必须是抽象的。”［８］
对于育人来讲，“数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，所以数学是无处不在、无时不用的”。［８］因而，学生经历数学的抽象，不仅由此生成了数学的研究内容，更具普遍意义的是抽象的过程，能让学生学习如何从量或形的视角，去观察、把握周围的现实事物。这一认识客观世界的独特方式，是每个社会公民无论从事何种职业都不可或缺的基本素养因此，它是抽象思想所独有的、最核心的育人价值。
且不说数学抽象的层次性、理想化、形式化、符号化对发展学生抽象思维的作用与贡献，仅当儿童从现实世界形态各异、异彩纷呈的事物中抽取共同的量或形的属性时，就已经得到了从考察对象中分离多种属性，提取本质属性，排除各种非 本 质 属 性 干 扰 等 一 系 列 的 知 觉、 思 维训练。
例如， “１０以内数的认识”，从实物数量的比较过渡到数的大小的比较 （见图 １），学生必须摒弃动物 （猴）与水果 （桃、香蕉、梨）各自的多种物质属性，抽象 出共同的数量属 性 “几个”，借助一一对应纯粹比较多少。然后由学生自己选择三种水果中的两种比较多少，抽象成数的大小比较，用符号表示比较的结果。从中还能使学生感悟，因为猴与桃个数相等，所以桃与香蕉、猴与香蕉比多少，结果也是３＞２ （见图２）。同样，猴与梨、桃与梨比，也是 ３＜４。这一概括对儿童来说，又是进一步的抽象。
事实上，小学数学几乎每一节课都有量或形的抽象活动，都在为进一步学习数学抽象，发展抽象能力奠定基础。
可以说，通过 学 习 数 学 培 养 学 生 的 抽 象 能力，对于学习研究其他领域的问题，对于今后在各种场合，面对事物错综复杂的多种因素，主动进行舍去次要因素，提取主要因素的分析活动，具有其他学科难以比拟的基础训练价值。
（二）推理
基础教育课程体系的理科设置，实验学科占了多数。过去是理化生，现在还多了一门科学。这些学科都用事实说话，主要靠实验判断对错。唯有数学，可以凭推理辨别真伪，证明结论。这是数学的精髓，体现了数学有别于其他学科的育人价值。
即使在小学，也能让学生初步感知数学的推理 （包括运算），可以得到不可能通过感觉经验掌握的新认识、新结论。
例如，设想地球是一个表面光滑的球，有一条很长的绳子，恰好绕地球赤道 （球的大圆）一周。把这根绳子 再 接长 ｘ 米，绕 着赤道悬在空中，使姚明 （身高２．２６米）正好能从绳圈下穿过 （见图３）。［９］
设绳子原长２πｒ米，接长ｘ 米，由题意得
２πｒ＋ｘ＝２π（ｒ＋２．２６）
ｘ≈１４．２
这个方程小学六年级学生也能解。运算揭示了事实：只要接长１４．２ 米，居然就能处处离地面２．２６米。尽管我们无法实际操作验证，但千真万确、毋庸置疑。因为运算没有错，而运算的本质是由一般 （法则）到特殊 （具体数值）的演绎推理，在这里就相当于证明。
我们不应该要求每个人都具有较强的数学推理能力。但是，如果一个人只相信眼见为实，不知道思维的能动性可以通过推理帮助人类突破感官、经验、常识的局限性，那就是个人素养的一大缺失。
（三）模型
在参与上海市中小学课程标准研制、修改的过程中发现，各学科专家都认为建模与问题解决能力是数学最具学科特征的育人价值，因为它是通用能力。确实，随着计算机的应用深入到社会生活的所有领域的各个层面，人们心目中数学的普适性贡献首推建模。
关于模型思想的意蕴及其学科育人价值，《义务教育数学课程标准（２０１１年版）》已有相当清晰的阐述： “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。”［１０］
这些内涵在小学数学教学中也能不同程度地予以落实。
例如，“数学广角”中的 “烙饼问题”（见图４）。
容易启发学生得到 “模型假设”：保持锅内始终有两张饼的烙饼时间最短。通过用圆片模拟烙饼的操作实验，找出烙３张饼的最优过程 （见图５），然后启发学生加以一般化：偶数张饼不用讨论，奇数张饼可以由３张饼类推，最终归纳得出最少时间的数学模型：
设ｎ为正整数，
烙ｎ张饼的最少时间 ６分钟 （ｎ＝１）
３ｎ分钟 （ｎ＞１）
进入模型检验环节时，常有学生质疑：烙３张饼最优过程的第２次 （见图５），２号饼只烙了一面就拿走，岂不半生不熟？是啊，如果真的每３张饼有一张夹生，这个数学模型还能用吗？有相关生活经验的 教师不难 启发学生找到解决办法：将本该拿走的２号饼叠放在１号饼上面，留在锅内保温。［１１］如此生动的教学，给学生留下了相当鲜活、丰富、强烈的建模感受。
可见，解决类似实际问题的过程，能使学生初步体验从建模准备 （了解、掌握情况）一直到模型检验、推广的大致流程。更具发展意义的价值在于它能增强学生数学应用的意识与自信，这对于培养各级各类人才来说，都是必备的素养基础。
综上所述，数学基本思想承载了独特的、鲜明的学科育人价值，可教、可学，是名副其实的学科核心素养。
至于这些基本思想学习效果的可测性，还有待深入研究、实践与检验。
——摘自《课程·教材·教法》2015.9
联系客服
