伊朗数学竞赛题

1道伊朗数学竞赛题，考查30°直角三角形，看似简单却难住不少学霸

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伊朗数学奥林匹克竞赛题：这道题是考查含有30°的直角三角形的题目，一些学霸觉得题目简单，但是依然难住了不少学霸，关键就在于不少考生没能正确做出辅助线，而很多时候做辅助线是初中几何题的重中之重，辅助线做好后就成功了一半。

下面介绍2种辅助线的做法，对应2种解法。

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解法一

如下图，过点D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，并设AB=CD=2y，BC=2AD=2x。

在直角三角形CDE中，因为∠BCD=30°，所以DE=CD/2=y，CE=√3DE=√3y，所以BE=BC-CE=2x-√3y。

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在四边形BEDF中，因为∠ABC=∠BDE=∠BFD=90°，所以四边形BEDF为矩形，则有DF=BE=2x-√3y，BF=DE=y，所以AF=AB-BF=y。

在直角三角形ADF中，由勾股定理可得：AF²+DF²=AD²，即y²+(2x-√3y)²=x²，解得：√3x=2y。即cos∠BAD=AF/AD=y/x=√3/2，所以∠BAD=30°。

详细过程见下图：

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解法二

延长CD交AB于点E，过点D作DF⊥AB于点F。为了计算方便，设BC=2AD=√3x，AB=CD=2y。

在直角三角形BCE中，因为∠BCE=30°，所以BE=x，CE=2x。

因为DF⊥AB，BC⊥AB，所以DF//BC，即∠FDE=30°。

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因为CE=2x，CD=2y，所以DE=CE-CD=2x-2y。故在直角三角形FDE中，EF=x-y，DF=√3(x-y)。

又因为BF=BE-EF=x-(x-y)=y，所以AF=AB-BF=y，则在直角三角形ADF中，由勾股定理可得：AF²+DF²=AD²，即y²+[√3(x-y)]²=(√3x/2)²，整理得到：9x²-24x+16y²=0，即(3x-4y)²=0，即3x=4y。

所以cos∠BAD=AF/AD=y/(√3x/2)=√3/2，即∠BAD=30°。

完整过程见下图：

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这道伊朗奥赛题，作出辅助线后的解答其实并不是很难，但是在考场有限的时间里作出辅助线也是一大考验。你觉得这道题难吗？