抛物线的几何特征解决几何最值问题

（中考数学压轴题分析）

“抛物线模型”——抛物线的几何特征

图1

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，2）．在x轴上任取一点M，完成以下作图步骤：

①连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为P．

②在x轴上多次改变点M的位置，用①的方法得到相应的点P，把这些点用平滑的曲线连接起来．

观察画出的曲线L，猜想它是我们学过的哪种曲线[i]．

图2

图3

如图2、图3，通过几何画板软件演示，可以发现曲线L是二次函数的图象抛物线．

看视频演示。

高中课本中有以下的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（不经过定点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线[ii]．从几何方面揭示了抛物线的本质特征．那么我们就可以把图3中的点A称为焦点，x轴称为准线，而曲线L就是抛物线．

因此，我们可以得到以下结论：在平面内，必存在一个定点与一条定直线，使得抛物线上任意一点到它们的距离相等．如图4，点F（0，1），直线y＝－1，点P在二次函数y＝0.25x²的图象上，过点P作PH⊥直线y＝－1 ，易得PF＝PH．

图4

有了上面的结论，我们就可以进行试题的命制．从以往的中考试题中，常见的类型有与等边三角形的存在问题、最短路径问题等．

【典型例题】

（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．

（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；

（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；

（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．