分析哲学与近代哲学在关于知识的理解上的差异，可以这样简单地说明：近代哲学认为，关于知识的考察，就等于考察观念，但分析哲学则认为，关于知识的考察，就是考察逻辑。与这种变化相伴随的是，逻辑在内容上的变化与地位上的提升。逻辑在康德那里是关于知识形式的研究，而在弗雷格与罗素这里，则变成了探求知识的基础。这一章我们就从弗雷格来看看这种变化是怎样的。
如果不是按照观念理论的方式，还是可以按照知识的目的来理解知识。这种方式是从另外一个角度来为知识提供基础。
知识的目的既可以说是达到真理（truth），也可以说是认识实在（reality）。对于这两个概念，不同的哲学家都给出了不同解释，我们可以不必理会这些解释，而是用最为直接的方式，来确定我们讨论的起点。
我们经常说一个东西是真的还是假的。有些说法是无关的，我们可以不予考虑，比如一件古董或者号称古董的东西可以是真的或假的。我们考虑的是与知识相关的那种用法，这时候我们说一个东西是真的，也就获得了某种知识，而我们从它所获得的知识，表述出来就是那个被认为是真的的东西的内容。在这种意义上，我们说一种观念是真的，或者，在经常使用的意义上，说一个句子是真的。就“真”一词的这种意义而言，我们认为是真的的东西总是有内容的，说它能够承载知识，也是就其具有内容而言的。当联系到句子时，如果没有特定的说明，我们就把句子内容称为“命题（proposition）”。
相比较而言，“实在”一词的意思比较不容易确定。有人觉得，凡是能够看见或者用其他方式感觉到的东西就是实在的。这通常是经验论者的想法。但是，像柏拉图这样的哲学家，就把像数这样看不见摸不着的东西也称为实在的，因而他们对于什么是实在，又持有不同的理解。不管怎样，如果从知识论的角度来理解，实在就是不管我们是否知道都会存在的东西。如果把实在当作知识所要认识的东西，那么实在就是独立于知识的。但是，如果认为知识只不过心灵（mind）某种活动的产物，那么作为知识对象的实在，就又是不存在的。幸好，为了了解弗雷格的哲学，我们还不需要在这些说法之间作出取舍，因为对弗雷格来说，把握了真这个概念，也就能够把握实在。
真与实在都是哲学中非常基本的概念，不过，对于理解知识来说，仍然存在真与实在这两个概念谁更基本这个问题。
在哲学中常常出现两个概念哪个更加基本这样的问题。对A与B这两个概念，当说A比B基本时，意思就是，如果没有把握A，B就无法把握，或者也可以说，如果没有确定A的实例，也就不能确定B的实例。比如，形状这个概念要比物体这个概念更加基本，这是因为，如果不知道什么是形状，也就不知道什么是物体。或者也可以说，是因为如果不借助形状这个概念的实例，就无法确定一个东西是不是物体。我们说物体这个概念依赖于形状这个概念，也就是这个意思。
对于在哲学中出现的这类问题，需要澄清一个很容易出现的误解。有时候人们也会讨论两个概念的实例间的这种依赖关系，比如，假定世界上只有一个圆形的物体，人们就会说，如果没有见过这个物体，就不会知道什么东西是圆形的。在这个例子中，圆形这个概念的实例依赖于物体这个概念的实例。一般说来，概念间的依赖关于可以这样与实例间的依赖关系区别开：概念间的依赖关系是针对所有实例而言的，而实例间的依赖关系则往往是单个地起作用。因此，即使我们有时会遇到A的实例依赖于B的实例，但就概念而言，B依赖于A，这仍然是有可能的。
真与实在这两个概念间可以建立联系。有的哲学家认为，如果离开实在，我们就无法知道什么是真的，这就是认为实在比真更基本。这样的哲学家主张，是否与实在相符合，是确定一个句子是否为真的标准。通常称这种观点为“关于真的符合论（correspondencetheory）”。但是，似乎也可以反过来理解，认为实在这个概念依赖于真，这是因为，我们可以通过知道什么句子是真的，来知道实在是怎样的。比如，如果我们知道“金日成死于心脏病”这个句子是真的，那么实际的情况就是，金日成死于心脏病。
如果实在比真基本，那么我们就可以通过独立的途径来确定，一个句子或者一个观念是不是真的，而不必借助于另外一个句子或者观念是否为真。比如，人们常常认为，通过视觉或者其他感觉就能够知道实在，而不需要判断某个东西为真。但是，这个想法也会遇到反对意见，人们常常在感觉上弄错，因此要通过感觉直接知道实在，就必须先确保感觉是真的，这样真这个概念又起作用了。
而如果真比实在更基本，那么为了知道实在，就必须通过真的东西，例如句子或观念。但是，在这种情况下关于究竟什么是真的，就必须有独立的标准。如果认为这种标准就是实在，那么我们就又回到了通过实在认识真这一点上，因为把实在当作句子或观念是否为真的标准，实际上也就相当于认同符合论。
弗雷格对这个问题是这么处理的：如果实在与真联系在一起，那么，要确定两者哪个更基本，只要看真是否能够用实在来定义，如果能，那么实在就更加基本，如果不能，那么真更基本。弗雷格论证了，真这个概念是不能用实在来定义的。事实上，他得到的结论要更强一些，他论证了，真这个概念是不可能给予定义的。
弗雷格曾经在不同的地方重复关于真这个概念为何不能定义的论证，下面的选段来自于“思想”这篇文章：
我们何以能够主张，只要在一个特定的方面符合[实在]，就会有真呢？但这又是在哪个方面呢？因为，在那种情况下，要确定某个东西是否是真的，我们该怎样做呢？我们必须做的事情就是探究比如说一个观念和某种实在在特定方面相符合，这是不是真的。而这样一来我们就又会面临同样的问题，事情又从头开始。定义真的任何其他企图也会失败。因为，在下定义的时候势必要指出某个特征，而在任何特定情况下要运用这个定义就总是会问，这样的特征出现了，这是否是真的。这样我们就是在兜圈子。由此看来，“真的”一词的内容是独特的和不可定义的。[1]
这个论证虽然非常著名，但很容易被当作是无效的。让我们来分析一下它的形式。
一般说来，要定义一个概念，可以采用内涵式的定义与外延式的定义（事实上，由于弗雷格的工作，对概念的定义有复杂得多的形式，比如关于自然数的定义，不过，就这个论证来说，采取何种方式来定义，这并不构成影响），而这两种形式是等价的。比如，“人是有理性的动物”这个句子如果算是一个定义的话，并且按照这种方式来理解，即“人”这个概念在内涵上等于“有理性的动物”这个复合概念，那么我们就说这是一个内涵式的定义。而如果我们把这个定义理解为，这两个概念的外延实际上是相同的集合，那么这个定义就是外延式的。
关于这两种定义的等价关系会有一些争议。如果你觉得，虽然这两个概念在现实世界中的外延是相等的，但在一些可能的情况下（比如由于生物进化的历史有所不同，某种昆虫发展出了理性），它们的外延又不重合了，在这种情况下，外延式定义与内涵式定义就不等价。让我们用一种手段来消除这种情况。在那种假设的情况下，肯定能够不借助理性动物这个标准、而是以独立的方式来确定什么是人，因为只有这样我们才能理解，有动物是理性的但不是人这么一回事。因此，如果我们要求，对一个概念的定义应当提供确定该概念的实例的标准，那么那种假想的情况也就消失了。这样，关于概念C的定义就是这样一种形式：
对任何一个东西，它是C，当且仅当，它是D。
这个定义中，“D”所表示的就是用来定义的那个概念，即定义项。定义式中使用了“当且仅当”这样的连接词，意思是说，两边的子句所陈述的情况互为充分必要条件，即它们的真值总是相同的。这样的句子通常称为“双条件句”。这是一个外延形式的定义，它保证了被定义概念C的外延与定义项D的外延重合。此外，D是用来确定C的实例的标准，因此，如果没有D，C这个概念也就不能运用。在这种意义上，D是一个比C更为基本的概念。这样就排除了前面所说的那种情况，即虽然就现实的情况而言两个概念重合，但还是会有一种可能性，某个实例属于C但不属于D。
弗雷格的论证可以在这种定义形式中得到说明。我们把前面那种形式套用到真这个概念上，并用与实在符合来定义真，就得到：
对任何一个东西，它是真的，当且仅当，它与实在相符合。
弗雷格对这种定义提出的反驳意见是，对某个特定的观念（假定我们需要考虑的是观念，这对论证本身没有影响）运用这个定义，以此判断这个观念是否是真的时，实际上也就是要判断，这个观念与实在符合，这是否是真的，而这就预先假定真这个概念已经被把握了。这就进入了循环。
这个论证的一个很明显的问题是，这个双条件句的后边部分没有出现“是真的”，如果要判断一个观念是否是真的，需要判断的只是它是否与实在符合，而不是“它与实在符合”这一点是真的，因此在形式上并没有循环。在一个定义中，只要定义项中没有包含被定义项，定义就不是循环的。在这种意义上弗雷格的理由似乎并不成立。
另外一种解释是，由于采用双条件句这种定义形式本身需要借助真这个概念才能得到解释，因此这种定义形式本身就预先假定了真这个概念。这个解释的理由是，双条件句所说的是“当且仅当”这个表达式的两边的子句真值相同，因此，这个形式本身需要借助真这个概念才能得到理解。
但是，这种解释也不成立。定义式可以在这种意义上理解：它说明了人们是如何理解被定义的概念的，因此，即使人们原来并不知道这个定义是如何表达的，只要确实是按照这种方式理解被定义的概念，定义式仍然是成立的。在这种意义上，一个人可以不知道“当且仅当”这样的说法是什么意思，比如从来没有见过这个说法，因此这个人实际上不理解关于真这个概念的双条件句定义式，但他仍然能够知道真这个概念是什么，并且，他实际上也是按照这个双条件句所描述的方式把握这个概念的。比如说，每当一个观念与实在相符合的时候，这个人就说这个观念是真的，在这种情况下我们就会说，他确实是按照那个定义式来理解真这个概念的；但在这样做能够做时，他丝毫没有（不管是否有意地）利用双条件句的形式，来进行从观念符合实在，到观念为真这样一种推导。
对于弗雷格的这个论证，我的理解是，他利用了一个在“思想”这篇文章中给出的前提，即判断就是承认一个句子的内容是真的。由于这个前提是在给出这个论证之后才给出的，读者通常在没有足够背景信息的情况下读到这个论证，因而难以正确地理解它。弗雷格区分了思考（thinking）与判断（judgment），并且指出，思考就是把握一个思想（thought）[2]，而判断则是承认一个思想是真的。[3]有了这个前提以后，关于真这个概念的不可定义性的论证就非常容易理解了。在运用关于真的定义时，也就是在判断一个观念是否为真时，我们总是要先判断，比如说这个观念是否与实在相符合，而这就意味着，要决定是否承认“观念与实在相符合”这个思想是否是真的，这样一来，在运用关于真这个概念的定义时，我们又要预先把握真这个概念。这里的关键是，对真这个概念的把握不是借助把握一个思想来进行的，对这个概念的把握是判断这种行为所要求的。由此就可以解释，为什么在表达式中并不出现循环，但弗雷格又坚持认为，在运用定义判断观念是否为真时又会出现循环。这是因为，真这个概念包含在判断的行为中。
事实上，弗雷格认为真这个概念对于思想不起作用。他说，“把真这个性质加给思想，这似乎什么都没有增加”。[4]这是一个非常著名的论断，有些哲学家认为，真这个概念是没有内容的，这个想法就来自于弗雷格。简单地说，这个想法可以表述为：
对于一个句子p来说，“p”与“p是真的”表达了同样的思想。
它很合乎我们通常的一种感觉，即一个人断定某个句子是真的，与使用这个句子来进行断定，所进行的是同一个判断活动。鉴于我们可以很自然地说，同样的判断活动具有同样的内容，说某个句子是真的，就与用这个句子来说，这两者的内容也就是相同的了。
这样，在弗雷格那里就有两个结论，其一，真这个概念总是包含在判断行为中，其二，这个概念对判断的内容不起作用。弗雷格把判断行为解释为断定与思想两个部分构成的，[5]因此在判断中除了思想或者说内容的那个部分，剩下的就是被归于语力（force）的断定了。鉴于这些，我们就可以说，真这个概念属于断定这种语力。因此，弗雷格关于真这个概念不可定义的观点，可以看作是这样一个主张：我们不可能通过把握思想，来获得关于真的把握。之所以这么说，是因为定义起作用的方式就是，通过理解关于另外一个概念的内容，来理解要被定义的概念；既然真这个概念不在内容的层次上起作用，用定义的方式来把握这个概念，也就是徒劳的了。
由此看来，在弗雷格这里，真这个概念不可定义，其依据是一种关于判断的学说，即判断就是承认某个思想为真。由于思想就是句子的内容，我们也可以认为，这种关于判断的学说所主张的就是，判断就是承认某个句子是真的。当把这个学说运用于关于某个观念是否符合实在的判断，就得出了真不可用符合实在来定义。弗雷格心目中的那个论证不仅否认可以用符合定义真，而且否认了关于真的任何一种定义，因此，在弗雷格看来，不仅是某种特定的内容（某个观念是否符合实在）需要通过判断行为给出，一般而言的具有认知价值的内容，即能够用来确认某个观念是否为真的所有内容，都应该是以判断行为给出的。这样一来，判断的普适性，与弗雷格的判断学说一起，就共同确保了真这个概念是不可定义的。
鉴于这一点，我们可以这么说，在弗雷格那里，并不是因为真这个概念本身具有某种奇异的特性，而使得它不可定义，而是因为这个概念与知识、判断这样一些其他概念之间以某种特定的方式联系起来，这种联系使得真不可定义。可以这样表述这种联系：a）知识总是体现为判断行为；b）判断就是承认某个思想为真。给定了这种联系，我们也就不能定义真，这是因为，要运用这种定义来判断真假，就必须利用关于所判断的对象的某种知识，但按照a）与b），就要预先假定已经把握了真这个概念。
如果知识是在真这个概念的基础上才得到理解的，那么知识本身就具有一些受制于这个概念的特性。
首先，从真这个概念出发来理解知识，知识就是那能够被认为是真是假的东西。能够被认为是真是假的东西除了句子，还包括观念。在前面引用的弗雷格的那段话中，弗雷格也确实拿观念来说知识，尽管这是一种论述策略。可以这么说，知识究竟要被认为是什么，是否要否决观念理论，这在一开始可以不急于回答。不管怎样，知识总是可以用语言来表达的，因此我们可以先讨论，就我们对知识的特定理解而言，用来表达知识的语言应当是怎样的。这种讨论会为最终确定知识是不是观念，提供必要的基础。
一个立即可以注意到的特性就是，只有句子才能表达知识。这是因为，如果知识的本质性的特征是能够是真的或假的，那么，由于能够是真的或假的只能是句子而不能是词，能够表达知识的只有句子。
有时候我们确实这么说：“张三认识（knows）李四”。看起来，光是“李四”这个词，对张三来说就表达了知识。但从我们这里所理解的知识来说，这个词是不能表达知识的。按照这种观点，这个词实际上是一个省略形式的句子，即“李四是……”，因此正确的说法是“张三知道李四是……”，补足了省略的东西，得到的仍然是句子。
分析哲学家最初关心语言，是因为关心知识。因此，分析哲学（特别是早期分析哲学）中所谈论的意义，是就传达知识这个目的而言的。比如弗雷格在研究语言的时候，就不考虑像语气、修辞这样一些对传达知识不起作用的因素。就这个动机而言，只有句子才传达知识，这一点就可以表述为，句子是具有意义的基本语言单元，而词语的意义要通过对句子真值的贡献来确定。
句子、而不是词，才是语言的意义单元，这种说法显然与我们对于语言的直观理解相冲突。在学习一门语言的时候，我们确实要单独学习词汇，并且词汇是一个一个地学会的。的确如此。但我们要区分认知意义（cognitivemeaning）与语言学意义（linguisticmeaning）。语言学意义是可以单独赋予词语的，但认知意义却未必如此。就传达知识而言，这里所关注的是认知意义。就认知意义而言，我们有理由认为，学习语言的顺序还是句子先于词汇。比如，按照最早的看图识字法来学习词汇时，如果是跟着成人来学习的话，对于像“老虎”这样的词是否对应于图画，成人会对孩子说出的词作出肯定或否定的表示，在这种情况下，成人实际上把孩子说出的单词解释为像“这是老虎”这样的句子，然后再进行真假判断。在这种情况下，成人的反应针对的是孩子是否真的识别出了图画，因而针对的是认知意义。
如果只有句子是意义单元，那么词语的意义就是在句子意义的基础上确定的。这个思路被用于函项逻辑的设计。
我们知道，就表达知识而言，词语具有意义，就在于能够用词语来谈论事物，或者说，谈论实在。词语与实在之间的关系，就以指称（reference）的形式建立起来。通常我们提到一个词指什么，这里的“指”就是指称。实在这个概念的实例，就是通过指称的方式给出的。前面提到的真比实在更为基本，在这里就体现为，真要优先于指称，也就是说，一个词语指称什么，这取决于包含这个词语的句子的真值。弗雷格提到，“要在句子语境中，而不要单独考察词语的意义”，[6]就是这个意思。这个原则被称为“语境原则（thecontext principle）”。真优先于实在，在语义学（semantics）的层次上，就体现为语境原则。
直观地看，语境原则说明了这样一个事实：我们通常用一些句子来解释一个词的意义。比如，我们会用“哺乳动物用乳汁来喂养幼崽”这个句子来解释什么是哺乳动物。我们利用一些性质来确定一个词所指称的是什么东西，而这些性质用语言来陈述，常常就以句子形式出现。
不过，语境原则还有更深的意思。它说的是，究竟什么叫做一个词语具有指称，这一点也是由句子语境来确定的。这是一个哲学味很浓的要点，需要多些解释。我们知道一些特定词语的指称，比如“普罗米修斯”这个词语，我们知道它指称某个神话人物；但是，如果我不理解什么叫做指称，或者说不理解指称这个概念，那么即使我知道那个神话人物，比如说在某部电影中见过，我也不知道，这个人物是“普罗米修斯”这个词语的指称，这意味着什么。这不是知识上的欠缺，我们会认为这涉及到一项基本的语言能力，如果不具备这种能力，我将无法理解任何名称，比如不理解我自己的名字。我知道自己是谁，但无法把自己与任何一个名字联系起来，从而无法知道我自己就是那个名字的指称。这种能力，就是把握指称这个概念的结果。——正是在这种意义上，只有在句子中，词语才具备指称。唯有这么理解，才完整地体现了真之于实在的优先性。这种优先性是概念上的，而不止是实例上的。
在“思想”这篇文章中，弗雷格把逻辑的任务与自然科学的任务对照起来说明。在他看来，a）正如比如物理学研究热一样，逻辑所研究的是真；b）正如物理学提供的是关于热的定律（law），逻辑所提供的是关于真的定律，也就是说，是必然的和不可违背的；c）逻辑与物理学不同，物理学定律解释所发生的事情，而逻辑定律则确定真是什么。
真这个概念只有两个实例，即真与假。这两个实例被称为真值，并被赋予句子。看起来，这是一个似乎没有什么值得研究的概念，它不会产生像热那样丰富的现象供我们研究。但是，这只是真这个概念的抽象性所带来的错觉。在思考和推理中，在从事科学探究的时候，我们都对真这个概念有默认的把握，比如，我们知道一个句子不能既是真的又是假的，我们也认为一个句子要么真要么假，不会有第三种可能性（这一点遭到一些哲学家的质疑），这些就是我们关于真这个概念默认的东西。这些东西制约着我们的一切思考活动，只要有能力进行思考，就总是在遵守它们的要求。它们的地位是如此基本，以致于对依靠它们才得以思考的我们来说，它们像空气那样难以觉察。
知识必须是真的，而一个东西要能够成为知识，就必须能够成为真的（或者假的）。因此，我们可以说，关于真这个概念的研究，其结论涵盖了所有知识。关于真的定律适用于所有知识。
在弗雷格的陈述中隐含了一个区分，即关于一个东西发生了什么，与关于一个东西是什么。前者往往是指一个东西是怎样的。比如，当人们说一个东西的温度是摄氏零下273度时，这是在描述一种热现象，其所说的就是热的程度，或者说，关于热发生了什么；但是，如果说热就是理想气体的平均动能的时候，这却是在说热是什么。弗雷格所理解的逻辑，就是在后面这种意义上研究真。这种研究不是在讨论哪个句子是真的，这属于关于真有怎样的情况，而是在讨论真本身是什么。正如热是什么，这一点决定了我们应当如何理解关于热的所有情况，同时也决定了关于热可能发生什么情况，以及不可能发生什么情况，真本身是什么，也决定了什么东西可能是真的。在这种意义上，弗雷格心目中的逻辑，是关于真的本质的研究。
但是，这立即产生一个问题：前面不是已经论证过，对于真这个概念，定义是不可能的，但是，如果不借助定义，又能够如何研究真本身是什么呢？
这个问题牵涉到逻辑定律的形式，也就是说，关于真这个概念的定律的形式。如果试图在单个句子中解释真是什么，确实没有办法不用定义的形式，但是，如果用一组句子，却可以这样考虑：如果这一组句子能够确定所有仅由于真这个概念本身而为真的句子，那么这一组句子构成的系统，就可以表明真本身是什么。这样，我们就可以说这组句子包含在一个逻辑系统（logicalsystem）中。
一个句子所陈述的对象，总是据以判断这个句子是否为真的东西。比如“葛朗台把遗产留给了女儿”这个句子所陈述的对象是葛朗台（你也可以说是他女儿、或者遗产），而这一点对应于这样一个事实，我们必须依据葛朗台的情况来确定这个句子是否为真。[7]由于有这样的对应关系，在事先没有明确句子所陈述的是什么的时候，我们可以通过什么被用来确定句子真值，来判断句子所陈述的东西。任何句子都可以认为是谈论了很多东西（比如关于葛朗台那个的那个句子就是如此），因为其中包含了不止一个词，而这些词都有各自的指称，因此，为了判断句子实际上谈论了什么，就可以通过什么使得句子为真这一点来确定。
关于逻辑系统的想法简单说来是这样的：给定其真假由真这个概念来确定的所有句子的集合，如果真本身是什么，这一点确定了这个集合中包含哪些句子，那么产生且只能产生这个集合中所有句子的系统的方法，就确定了真本身是什么。这种系统方法就以逻辑系统的形式给出。这时，那些由于真这个概念而为真的句子，就是逻辑所要研究的句子，通常，这样的句子就被认为表达了逻辑命题（logicalproposition）[8]。
一个逻辑系统通常包含两个部分，即语法（grammar）的部分与证明论（prooftheory）的部分。语法负责确定使用什么样的符号来给出我们所需要的、那些仅由于真这个概念而为真的句子。这一部分之所以称为语法，是因为它只管生成这样的句子，而不管句子是真的还是假的。另外那部分，则负责给出确定所生成的句子的真假。这部分包含一组公理和一组推理规则，构成了逻辑系统中的一个子系统，即证明论系统。公理是事先确定为真的句子，而推理规则提供从公理得到其他真句子的方法。这一部分应当达到这样的效果：按照语法生成的任意句子，如果是真的，就要能够利用推理规则从公理中证明出来（完全性）；并非按照这种语法生成的任何句子都可以得到证明（一致性）；并且，所有能够从公理得到证明的句子，都不能是假的（可靠性）。
弗雷格所设计的概念文字，就是一种逻辑系统，其大部分设计思路都已经成为当代数理逻辑，特别是一阶逻辑的主流思想。接下来，2.3、2.4节会讨论概念文字系统中的语法思想，即函项以及真值函项，2.5节介绍公理和推理规则。
前面讨论弗雷格关于真这个概念为何不可定义的论证时，我们看到那个论证的基础实际上是一种判断理论，而论证的最终结论中还包括这样一点：真这个概念对于断定语力起作用，而对句子所表达的内容是不起作用的。这就产生了一个问题，逻辑系统所产生的那些句子究竟有什么用。
之所以有这个问题，是因为，如果这些句子仅仅是表达一种内容，那么即使这是关于真这个概念的内容，由于真这个概念不在内容这个层次上起作用，这些句子对于把握真这个概念，也是没有帮助的。事实上，按照弗雷格关于判断的观点，由于对于真的把握是任何判断得以作出的前提，而在关于真的研究中总要作出判断，这样就要预先把握真这个概念。这样，逻辑研究就面临一种奇怪的处境：只有先把握了真这个概念，才能通过逻辑揭示真这个概念。但如果这样，逻辑又何必来揭示这个概念呢？难道它的目的不是使得我们把握真这个概念吗？
看来，对于逻辑所研究的那些被认为由于真这个概念而为真的句子，正确的解释应当是，它表明了就对真这个概念的把握而言，正确的判断行为应当是怎样的。如果这样理解的话，逻辑命题就不是单就其内容起作用，而是作为正确的判断行为的一部分，即作为内容，与断定语力一同起作用了。在这种情况下，在进行逻辑研究时虽然要求真这个概念已经得到把握，但由于这种把握不一定通过判断的内容表现出来，而只是停留在断定语力的层次，但这种研究仍然是有用的，它把真这个概念作为内容表现出来了。
虽然说只有把握了真这个概念才可能进行判断，但这并不意味着所有实际进行的判断，都合乎这个概念的要求。比如，人们都知道，一种既真又假的想法是不合乎真这个概念的要求的，但人们也都承认，自己经常持有一些相互矛盾的想法。人类探究知识的过程，总是按照一种自己能够把握的方式，来对自己把握到的东西进行修改、调整和扩展。对真这个概念所作出的逻辑研究也是如此。人们把握了真这个概念，并以这种把握为基础，来决定什么是真的而什么不是。逻辑研究所要做的，正是向已经把握真这个概念的人揭示，这种把握意味着什么。这个过程使得对真这个概念的把握成为自觉的。
虽然只是在很少的地方提到过理性，我们还是可以，看出弗雷格的逻辑观念的基础就是理性。对知识的追求首先是一项理性的事业。虽然弗雷格心目中的理性与近代哲学中的理性论者心目中的理性有很大差异，但其基本点都是一样的，即把真放在头一位。不过，理性论把真归于观念，弗雷格虽然也把真归于句子内容，但他仍然意识到，真这个概念是通过断定语力起作用的，也就是说，通过判断的行为的方面起作用。这样一来，对弗雷格来说，对真的把握，就不是对一种内容的把握，而是作出判断行为的能力。这种能力我们就可以恰当其称为理性（rationality）。鉴于这一点，我们可以这么说，逻辑研究实际上就是向我们揭示，具有理性，这对我们的思想以及判断来说意味着什么。
这进一步表明了逻辑系统以及逻辑研究的一些特征。由于设计逻辑系统的目的不是获得一种内容本身，而是通过内容展示对这种内容作出判断的能力，而且，对所展示的东西的理解由于也是一种判断过程，也受制于这种能力，因此，逻辑系统在这种意义上是一种理论设计而不是理论发现：就像画家通过创作展示自己的艺术构思一样，并没有一种独立的标准，来对系统的正确与否作出判断。逻辑系统的构造方式不是唯一的，或者说，关于是否只有唯一正确的逻辑系统，不存在原则上的限制。
尽管如此，当逻辑系统中足够多的部分确定下来以后，其余部分是什么样的，也就有所限制了，并且随着逻辑系统的逐步完成，这样的限制越来越严格。这是因为，逻辑系统不是通过单个的要素来表现真这个概念，而是通过系统整体来表现。既然真是一个确定的概念，它就对系统的局部与整体之间的关系作出了限制，这是因为，局部在系统整体中才对真这个概念有所表现。当一个系统从头开始建造，在一开始是完全没有限制的；随着系统的逐步完善，限制就越来越多；到系统完全完成时，由系统能够得出何种命题，就是严格地确定了的。
三段论逻辑就属于词项逻辑。“词项逻辑”这个术语是就命题的基本结构而言的，而“三段论逻辑”则是就有效推理的一般形式而言的。三段论逻辑是词项逻辑的一种，后者是一个外延更广的概念。
词项逻辑对于命题结构的分析方式，可以利用康德的概念学说来加以解释。在康德的概念学说中，概念与内容之间的关系是通过集合来确定的。一个概念对应于一个作为外延的集合，因此，对于表达这个概念的词来说，我们可以把这个集合当作是这个词的语义。命题中所有具有语义的成分都是以集合作为语义的，这是词项逻辑的基本特征。这在康德那里是自然的，他按照理性论的方式来解释观念的普遍性，这使得所有概念都要通过性质、进而通过类来确定对象，因而不会有只指称一个对象的概念。
这样，命题中所有具有语义的部分都同样以集合为语义，这些部分统一称为“词项（term）”。命题就是由词项连接而成的。按照建立逻辑的一般原则，这样的连接应当能够解释推理的有效性。因此，词项逻辑中对于命题的解释一般是这样的：命题就是词项按照概念外延间的包含关系结合而成的整体。按照这个思路，推理就可以按照集合之间的包含关系来解释。比如这样一个推理：
1）所有人都是有死的；
2）苏格拉底是人；
3）因此，苏格拉底是有死的。
其中第一个前提（即大前提）说的是，“人”这个概念的外延包含在“有死的”这个概念的外延中，即前者是后者的子集；第二个前提则是说“苏格拉底”这个概念的外延（这是一个由苏格拉底的这个作为唯一成员的集合），包含在“人”这个概念的外延中，从而是后者的子集。按照集合的包含关系的可传递性（即如果A包含在B中，B包含在C中，那么A就包含在C中），我们就可以知道“苏格拉底”这个概念的外延也包含在“有死的”这个概念的外延中，由此得到结论。这样一来，我们就利用包含关系这种集合论结构的数学特性，解释了这个推理为何是有效的。
词项逻辑的问题就在于采用了不恰当的数学结构，来充当对命题进行逻辑分析的基础结构。一般说来，设计这样的基础结构，有些像用规格单一的积木，来拼成各种各样的图案。这样的基础结构应当有足够的弹性，以适用于多种多样的命题形式，其次，这样的基础结构应当足够抽象，从而含有足够少的特征，这样才能够利用一种统一的方式，来分析复杂多样的命题。包含关系不满足这些要求。由于包含关系只能在两个词项间建立，词项逻辑只适用于两个词项构成的命题，比如像“日本与德国结盟”、“警察怀疑是汤姆杀死了琼斯”、“德军未能识破盟军计划穿越英吉利海峡从诺曼底登陆法国的行动”这样含有多词项的命题，也就难以应付了。
“函项”这个词实际上就是数学中的“函数（function）”。函数既可以解释为一种数学结构，又可以解释为一种变换操作。比如y=x2+3x+2，当作为数学结构时，它以抛物线的形式出现；而当作为一种变换操作，则表示在变元x取一个值时，如何得到y的与之相对应的确定的值。
作为一种数学结构，方程式y=x2+3x+2的结构就是重要的。它影响了抛物线的位置或者形状。而作为一种变换操作，这个方程就表示当自变元在定义域内取特定值时，总是有唯一的函数值与之对应。这时，人们把一个函数解释成从自变元到函数值的映射（单射），并且可以忽略函数式的内部结构。
一般而言，前一种解释可以在后一种解释的基础上得到，但反过来则不行。原因是，作为数学结构，变元的取值顺序是不重要的；但这种取值顺序却是变换操作不可缺少的特征。比如，y=x2+3x+2作为数学结构是一条二次曲线，无论是先为x取值，还是先为y取值，都不会影响这个曲线；但是作为数学变换，则只能先为x取值，再确定y值，而先为y取值，却不能确定x的值。这是因为当y取一些值时，x可以取两个值，而不是唯一一个值。数学结构缺少数学变换的那种方向性，因此，人们首先是把函数理解成数学变换，而不是数学结构。当然，由于可以从数学变换得到相应的数学结构，在一种派生的意义上，我们也可以把函数理解成数学结构。
这样一来，方程y=x2+3x+2中等号后面的那部分就表示一个数，即y所取的值——它不表示一个包含了x的算式，而是表示这个算式经过计算得到的值。因此，这个算式必须是能够计算的，而不能像“x2=+3x”这样的不能计算的式子。
函项逻辑的灵感是，把得到命题的数学结构解释为与函数对应的数学结构，也就是说，理解成本质上是表示函数这样一种数学变换的结构。其核心想法是把命题结构区分成两部分，一部分类似于方程y=x2+3x+2中等号后面的那部分，称其为“函项”，另一部分则作为变元的值，称为“主目（argument）”，即数学中所说的“自变元”。例如，“苏格拉底是人”这个句子，就分析为函项“x是人”与主目“苏格拉底”，如果把主目作为变元x的值代入函项，就得到命题“苏格拉底是人”。
作为一种函数结构，命题应当有取值，就像方程y=x2+3x+2中的y那样。弗雷格把真值（包括真和假）作为命题的值。关于这一点的解释我们留到下一讲，这里暂且按下。函项本质上是一种数学转换，因此命题结构所表示的就应当是真值，而命题表明了真值是如何得到的。这样说来，正如在y=x2+3x+2中“x2+3x+2”表示数一样，命题的语义就是真值。这意味着，只有能够具有真值的，才算是完整的命题。
这里要注意的是，就像在方程式中那样，命题中的函项一定要带上变元，以表明在哪里和怎样取值。比如，“x杀死y”这个带有两个变元的函项，要在前后两个位置上都取值，才能得到完整的命题结构；而这个函项与“x杀死x”这个函项显然是不同的，后者要求在前后两个位置上取相同的值。
按照对象与概念的区分，函项的语义是概念，而主目的语义则是对象。例如，在“苏格拉底是人”中，“苏格拉底”表示对象，即苏格拉底这个人，而“x是人”则表示函项。需要注意，对象与概念的区分，是建立在命题结构的主目-函项之分的基础上的，而不是说，有些东西本身就是概念或者对象。比如苏格拉底这个人是一个对象，这是因为我们用“苏格拉底”这个充当主目的词来指称它。如果我们把“苏格拉底是人”这个命题理解成是由“苏格拉底是x”与“人”构成的，那么前者虽然带有“苏格拉底”这个词，它所指的仍然是概念。
对命题结构的这种解释，一个直接的好处是具有词项逻辑所不具备的灵活性。由于在一个命题中可以有多个主目，它就允许有更为复杂的结构。比如“A包含B”这个句子，就可以分析成“x包含y”这个函项，以及“A”与“B”两个主目。
函项解释的另外一个好处是，可以非常方便地实现迭代。常常可以看到用一个句子或者一个句子的变化形式，来充当另外一个句子的成分的情况。比如，“如果奥巴马赢得了弗吉尼亚州，他就赢得了总统大选”这个句子，就是由“奥巴马赢得了弗吉尼亚州”与“奥巴马赢得了总统大选”这两个句子组合而成的，并且，这个组合而成的句子还可以充当其他句子的成分，从而构成更长的句子，如此等等。这种情况就是迭代。利用函项容易解释迭代的情况。数学中的函数本身就是可迭代的，也就是说，一个函数的函数值可以充当自变元，来构成复合函数。事实上，句子的迭代就是通过函数的迭代来解释的。这样就可以解释，为何在语言中总是可以组成无限复杂的句子。
即使像前面所说的那样了解了什么是函项结构，我们仍然不知道，对任意给出的句子，我们应该如何分析它的命题结构。比如像“苏格拉底是人”这个句子，它究竟是由函项“x是人”与主目“苏格拉底”构成，还是由“苏格拉底是x”与“人”构成，还是由“x是y”以及“苏格拉底”、“人”构成的。事实上，弗雷格从数学上为函项结构给出了非常有效的界定，使得在任何一个足够大的语言背景下，都总是可以以足够确切的方式分析句子的命题结构，并且从这种分析所提供的句子成分出发，构成完整的命题。
为了掌握这套界定，需要一些准备性的定义与说明。
先定义“表达式（expression）”这个词。表达式就是句子中的这样一些符号串，它们能够作为单独表达意义的部分分离出来，构成其他有意义的句子。比如“苏格拉底”、“人”以及“苏格拉底是人”这样的符号串都是表达式，但“格拉底是人”却不是表达式。像“乞力马扎罗”这样的名称是表达式，符号串“马扎罗”在充当名称时（比如某个人名）也是表达式，但是，“马扎罗”作为从“乞力马扎罗”中分离出来的符号串，却不是表达式。因此，“乞力马扎罗”不是由其他表达式构成的表达式。
作为一种极限情况，一个句子也可以算作一个表达式。人们也可以依据自己的喜好把句子与表达式分开。
在一个句子中，充当函项结构的主目的表达式，被弗雷格称为“名称”，而充当函项的表达式则称“概念词”。弗雷格意义上的名称包括像“世界上最高的人”这样的摹状词（description），这是一种比较宽泛的用法。
概念词中变元所在的位置可以称为空位。具有空位的表达式被弗雷格称为是“不饱和的”或者“不完整的”。我们可以把空位形象地理解成一个待填充的位置，这样理解显然适用于表达式的物理形态。“x是人”这个概念，我们也可以写作“（）是人”，从而表明这个空位究竟在哪里。不过，我们不能赋予这个说法以过多的涵义。我们甚至可以不解释它，而就像化学中的“化合价”那样，理解为表达式之间相互结合的能力。关于这种能力我们很快就会提到。
特定概念词的空位的数量和位置都是固定的，空位之间的关系（即哪些空位要取相同的值）也是固定的。
名称就是不含空位的表达式。当名称充当某个变元的值时，就说这个名称填充了概念词中的空位。
有了上述说明以后，就可以来看如何对句子进行函项分析。分析句子的函项结构，其约束性的原则有这样三个：
a）所有表达式要么有空位，要么没有空位；
b）只有当一个无空位的表达式填充不饱和的表达式的空位，两个表达式才能连接起来；
c）只有当不饱和表达式的所有空位都得到填充，才能得到完整的命题。
这三个原则中的第一个关系到表达式的分类，这意味着名称与概念词是相互排斥的类别，并且它们穷尽了所有表达式。第二个原则解释了表达式之间是如何连接的。这种连接无需借助粘合剂或者中间环节之类的任何其他东西。第三个原则说明了什么样的表达式才表达完整的命题。关于这一点，弗雷格的想法是有变化的。在早些时候，特别是写作《概念文字》的时候，弗雷格认为句子与名称是不同的，因此要表达命题，就必须有不饱和表达式，并且其所有空位都要得到填充。而到了晚些时候，弗雷格把句子也算作名称，这样，表达式只要不含空位，就是完整的。在后面的内容中，我们仍然把句子与名称区分开，以避免一些不自然的说法。
这三个原则一起，就可以对同一个语言之内的句子进行确定的分析，也就是说，把句子中包含的表达式，按照唯一一种方式都分离出来，并且，按照这些原则，还可以把这些表达式拼合成数量无限的完整句子。
例如，前面我们遇到的“苏格拉底是人”这个句子，似乎既可以分析成“苏格拉底”与“x是人”，也可以分析成“苏格拉底x”与“是人”。但是，只要我们注意到，在我们的语言中可以有“格劳孔转向苏格拉底”这样的句子，就可以发现苏格拉底必须是没有空位的。因为，如果它有空位，空位就不能在前面，在“苏格拉底是人”这个句子中，“苏格拉底”前面没有接任何表达式；同理，从“格劳孔转向苏格拉底”这个句子可以看出，空位也不在“苏格拉底”后面。这样，我们就可以否认能把“苏格拉底是人”分析成“苏格拉底x”与“是人”。
当然，我们也可以把“苏格拉底是人”这个句子分析成“苏格拉底”、“x是y”以及“人”这三个部分构成，因此这个句子仍然有不止一种分析方式。对这个问题我们可以有两种不同的理解。一种方式是同意可以这么分析，但认为这种方式并不与前面那种方式构成排斥关系。我们可以认为，这个句子可以先分析成“苏格拉底”与“x是人”，而后再把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构。这样一来，原来那个句子仍然是只有一种分析方式，只不过这种方式是分多个步骤进行，我们不能认为在进行到不同步骤时得到的产物，构成了对句子的不同的分析。
另外一种理解方式是，否认可以把“x是人”分析成“x是y”与“人”的一种组合结构，理由是，这样分析是参照像“人是有死的”这样的句子进行的，但这样的句子中虽然“人”前面没有出现空位，但在这样的句子实际上表达的命题结构中，却有这样的空位。前面我们已经看到，这个句子表达的命题结构可以是“对任何东西来说，如果它是人，那么它是有死的”，“人”仍然是作为概念词出现的。它只是在表面上是名称，但表示的并不是对象。这种理解的要点是，必须分清句子结构与命题结构。句子结构是表面上看起来的结构，而命题结构则是句子所表达的内容的结构。所有命题结构都可以用相应的句子结构来表达，因此我们可以借助句子结构来分析命题结构，但这种分析并不总是与句子结构相吻合。
这两种回应方式就“人”这个表达式的理解而言是相互排斥的，但就函项结构分析而言并不排斥。它们表明了这种函项分析的两个不同侧面的特性。前者说明了对句子进行的函项分析在何种意义上是确定的，后者则说明了这种函项分析的结果并不总是与句子的表面结构吻合。
对句子的函项分析很好地贯彻了语境原则。运用函项分析的方式是，给定一些句子，以这些句子作为起点，分析出该句子所使用语言的表达式，然后用这些表达式来构成新的句子。这样的分析顺序就是以句子作为意义单元，通过句子意义来确定表达式的意义。饱和表达式与不饱和表达式的区分，就是在句子意义基础上确定表达式意义的结果。只要知道什么是完整的句子，也就能够知道什么是饱和表达式什么不是，我们不必知道表达式中是什么决定了饱和性。反之，如果从表达式开始来确定什么是完整的句子，我们就必须在表达式中寻找决定表达式是否饱和的东西，从而必须对饱和性予以解释。我们知道，弗雷格从未作出过这样的解释。
概念文字的指导思想是函项逻辑，即用函项形式来对命题进行结构分析。为了建立逻辑系统，也就是说，为了给出那些仅仅由于真这个概念就为真的命题，关于函项结构的基本想法是不够的。为了达到这个目的，需要一种特殊的函项结构，即真值函项（truth-valuefunction）。所谓真值函项，就是不仅其值是真值，而且其主目也是真值的函项。概念文字系统（以及当前大多数主流的逻辑系统）不仅把命题分析成函项结构，而且是分析成真值函项结构。
使用真值函项结构的基本想法是：只要把握了真这个概念，就能够理解真值函项；由于真值函项的主目就是真值，把握了真这个概念，就足以确定通过真值函项结构建立起来的命题是否是真的。这个想法包含了两个部分，其一，可以利用真值来定义真值函项，因此无需真这个概念以外的东西，就可以确定真值函项的意义；其二，真值函项的主目也是真值，而在把握了真值函项意义的情况下，确定了主目也就可以确定函项的值，因此要确定真值函项结构的命题是否是真，也无需借助除真这个概念以外的东西。这样，对于给定命题来说，只要能够用真值函项结构来表示它，我们就能够利用概念文字系统来确定其真值。
我们在数理逻辑中看到的逻辑联结词以及否定号，就是真值函项记号。而真值表就是利用真值来对这些真值函项作出的定义。常用真值函项的真值表定义如下表所示：
p | q | p | pú q | p → q | ~p |
真 | 真 | 真 | 真 | 真 | 假 |
真 | 假 | 假 | 真 | 假 | 假 |
假 | 真 | 假 | 真 | 真 | 真 |
假 | 假 | 假 | 假 | 真 | 真 |
这些逻辑联结词是用真值表定义的，这就意味着它们并不含有真值表以外的意义。人们有时候把析取号“ú”解释成连词“或者”，而把实质蕴涵“→”解释成因果关系，这都是不对的。析取的唯一意义是排除两个析取支均为假的情况，或者说，只有在两个析取支均为假时为假，在其他情况下均为真。实质蕴涵则要解释成仅仅排除前件真后件假的情况。
这样的话，所谓的“实质蕴涵怪论”其实是过度解释的结果，实际并不存在。人们通常会对逻辑系统允许像“如果9+1=10，那么海豚是哺乳动物”（写作“9+1=10→ 海豚是哺乳动物”）这样的句子为真，而感到不解，因为前后件显然缺乏语义上的联系。现在我们知道，这种语义上的联系反而是不允许的。这种联系超出了真这个概念的范围，而逻辑系统被设计出来，目的只是要揭示真这个概念，超出这个概念的东西，则是不相关的。一个系统要揭示真这个概念，就势必要在前面所陈述的那种意义上定义真值函项，而这意味着要允许那类怪异命题。逻辑系统不能一开始就试图刻画排除那类命题所需要的语义联系，而能够刻画这种语义联系的，只能是允许那类怪异命题的那种逻辑系统的扩展形式；在扩展之前，真这个概念必须已经得到了揭示。
定义了真值函项，就可以把所有与真值不相关的要素都过滤掉，这种操作我们这里称为中立化操作，由此得到的句子就称为中立句[9]。比如，在“海豚分泌乳汁→ 海豚就是哺乳动物”这个命题中，把前件“海豚分泌乳汁”换成“9+1=10”，它们都同样是真命题，因此整个实质蕴涵式的真值是不变的。在这种情况下，我们可以用一个抽象的字母“p”来表示前件，而只规定它是一个真命题，这样就得到一个半中立化了的句子“p→ 海豚就是哺乳动物”。按同样的方式把后件也换掉，换成“q”，并且也只规定它是一个真命题，由此就得到原来那个句子完全中立化了的形式，即“p→ q”。在中立句子中，我们完全不理会句子讨论的是什么，而只关心句子的真值，因此，真值函项结构将完全用中立句的形式表现出来。当然，中立句也就表现了真这个概念。
当把中立句中的字母系统地换成赋予了具体内容的表达式或句子，也就是说，用相同的表达式或句子来替换相同的字母，我们就得到了具体的句子。如果按照逻辑系统中立句的真值已经确定下来，那么替换后的具体句子的真值也就保持不变。由此我们可以看到，逻辑系统与具体句子之间的关系是怎样的了。具体句子虽然依据具体的内容而为真或为假，但它们总是受到逻辑系统的约束，这种约束就体现在相应的中立句上。这种约束具有普遍性，这是因为，任何一个中立句都对应于无穷多的具体句子，中立句是作为刻画这些具体句子所受到的逻辑约束的定律出现的。
确认一个命题是否公理，需要两个方面的标准。首先，它必须也是出于真这个概念而为真，也就是说，它必须具有明证性；其次，在与其他公理以及推理规则配套使用时，是否具有这样一种技术上的特征，即是否具备了构造出逻辑定理所必须的那种基础地位。它们合起来得到的标准就是自明性（self-evidence）。
关于明证性，可以举例说明。例如，一个形如“(p → (q → r)) → (q → (p →r))”的中立句在概念文字系统中就是公理。这个句子是这样表现出自明性的：按照实质蕴涵的真值表定义，只有当前件为真后件为假时，实质蕴涵式才是假的；如果我们假定这个蕴涵式为假，那么其前件p→ (q → r)为真，而后件q→ (p → r)为假；而要使得后件q→ (p → r)为假，就必须使得q为真，而p→ r为假，即p真r假；但是，在q与p为真而r为假的情况下，蕴涵式的前件p→ (q → r)也为假；既然按照假定前件p→ (q → r)为真，因此整个蕴涵式不能为假。
从上述推理可以看出，只要我们承认一个句子不能既为真又为假，在按照真值表定义来理解实质蕴涵的前提下，就能够看出整个中立句是真的。承认一个句子不能既为真又为假，这是真这个概念所要求的，因此，这个句子为真，是由于真这个概念。在这种意义上，这个命题是明证的。
要注意的是，“明证性”这个概念在有些哲学家那里是一个知识论概念，按照这种理解，明证的东西就是人们有充分证据而加以确认的东西。作为知识论概念，某种知识要达到明证的程度，这与主体的认知能力，以及为知识提供辩护所需要的证据的类型有关，而这意味着明证性是相对的、有程度之别的。在弗雷格这里，逻辑公理的明证性不是这样的一个知识论概念，它与主体的认知能力没有关系，而是与真这个概念本身有关。不过，这个概念与知识也并非全然无关。我们可以这么说，具有明证性的命题，就是把握了真这个概念的人应当认识到是真的的命题。在这种意义上，一个命题是否有明证性，这并不取决于主体实际所具备的认知能力，相反，它决定了主体是否有认知能力——一个人如果没有能力意识到明证的命题是真的，那么他就并不具备获得知识而必须具备的理性能力。
就明证性而言，逻辑系统的公理与定理是没有区别的，但是，任何命题都是具有一定复杂程度的句子，而这意味着认识到它的明证性，是一件难易程度不同的任务。人们必须首先识别写下来的句子，通过句子的物理形态来看出句子所表达的思想，然后才能知道它是否是明证的。这样，就不排除有些句子以最为简单的方式，通过其物理形态体现出明证性。我们可以设想，所有明证的命题都是通过若干最为简单的模块通过拼接、迭代，以及变形操作而成，而这些简单模块对于推出所有明证命题来说都是必要的，那么，以恰当的方式分离出这些最简单的模块，就得到了这个系统的公理。在这种意义上，公理就是其明证性最容易识别的明证命题。这样的命题就是自明的。
与公理协同工作的是推理规则。公理所提供的基本模块按照推理规则所确定的方式进行操作，由此得到各式各样的明证命题。在这种操作中，推理规则需要满足的条件就是，要保证从真命题得到的也是真命题。就以概念文字中最重要的推理规则来说明这一点。肯定前件推理的形式是这样的：
这个推理规则是从关于实质蕴涵的真值表定义中获得的。在实质蕴涵的真值表定义中容易看到，当前件为真，并且蕴涵式为真时，后件只能是真的。按照这种形式，我们可以从两个公理通过变换得到新的中立句，并且这个中立句是真的：
其中，第二个前提就是我们前面讨论过的那个公理。我们可以验证一下推理最终得到的那个命题是不是真的。
仅仅给出公理与推理规则，这对于设计概念文字系统的目的来说还是不够的。概念文字系统应当能够给出所有出于真这个概念而为真的命题。通常，对逻辑系统的这种要求被称为完全性，即所有逻辑上为真的命题都要能够在系统中得到证明。但是，在概念文字系统中并没有表述这种完全性的手段。[10]要能够说明一个系统是否完全，就必须有一种技术手段，来确定逻辑真命题有哪些。当然不能用“在概念文字系统中可以证明”这一点来充当逻辑真命题的标准，因为是否所有逻辑真命题都是可以在概念文字系统中可以证明的，这正是需要证明的结论。我们需要独立的标准来确定逻辑真命题的范围，但弗雷格并没有这样的手段可用。
在当前的数理逻辑中，人们确实证明了各种逻辑系统的完全性或者不完全性。事实上，1929年哥德尔在自己的博士论文中就证明了一阶逻辑的完全性，而一阶逻辑是概念文字系统的一个局部。这些证明通常采用了后来被归入“模型论（modeltheory）”的形式语义学技术。到后面学习塔斯基的时候我们会了解这种技术。这种技术的要点是，把系统所规定的语言本身看作是无意义的符号，而把符号的意义描述成符号与模型（即一组对象）的对应关系，这样，我们就可以用任何语言来谈论这些符号的意义。这里的关键是，由于可以直接谈论模型，我们就可以确定这些符号构成的句子在什么情况下是真的和假的。比如，如果为“a”这个名称指派铅笔这个对象（这个对象包含在模型中），以此解释这个名称的意义，而为“F”这个谓词指派模型中所有红色的东西构成的集合作为意义，那么，如果铅笔属于那个集合，“F(a)”这个句子对于这个模型的这种指派来说就是真的。在此基础上，如果在把模型中的对象任意指派给句子中的表达式时，句子都是真的，我们就说这个句子对于模型是真的；而如果对任意模型都为真，句子就在逻辑上为真。这样一来，我们就独立地确定了什么是逻辑真命题，因而可以表述系统的完全性。
以前面关于真这个概念的讨论为背景，我们不难看到这种技术是弗雷格所不会采用的。上面说明句子“F(a)”何时为真时，我们需要确定铅笔是否属于所提到的那个集合，也就是说，按照弗雷格的理解，我们要确定“铅笔属于那个集合”这个句子是否是真的，因此按照模型论的方式并不能说明什么是真的。
但是，从另一方面看，模型论所提供说明又不是循环的，因为它说明的是特定语言（即包含了“F”与“a”这类符号的语言）的句子是否是真的，也就是说，如果把这里提到的“真的”这个词限制在特定语言上，循环就消失了。一般而言，这种我们对其中的句子谈论真假的语言，就被称为“对象语言（objectlanguage）”，而我们用来谈论对象语言的语言（在这种情况下就是汉语这种自然语言）就是元语言（meta-language）。用这两个术语来描述现在的情况就是，要谈论对象语言的句子是否是真的，就要预先假定元语言中的真句子，由于这两类句子是不同的，我们对于对象语言的句子是否为真的解释，就不是循环的。这样解释所付出的代价是，由此给出的用来确定句子真假的标准，只是针对与特定语言联系的“真的”这个词，即真谓词（truthpredicate），而不是真这个概念。如果要进而确定元语言的句子何时是真的，就要使用元元语言，并预先假定元元语言中的一些句子是真的。
由于弗雷格试图通过逻辑系统所揭示的，是真这个概念，而不是真这个谓词，模型论的方式对他来说就是不起作用的。
不过，弗雷格还是可以用一种类似于自然科学家的态度来对待概念文字系统。科学家的任务是发现科学定律，以此解释自然现象，但对科学家来说，不可能有一种更高的科学，来确定给定的科学定律是否能够解释所有的自然现象。科学家所做的事情，只是在看来不能解释的现象出现时，对科学定律进行修改和完善。对待概念文字系统也可以采取同样的态度。哲学家并没有一种独立的方式，来判断眼下的系统是否完全地揭示了真这个概念，唯有通过所遇到新情况来进行检验，看系统是否有能力处理这种新的情况。这样看来，系统的完全性是一个开放的问题，哲学家要做的事情无非是不断改进系统，但无法保证它是完全的。弗雷格很有可能是这么看问题的。对他来说，虽然没有一种系统的方式来确定什么东西是真的，但由于我们终究是具有（或多或少）理性的，因而对真这个概念终究有所把握，终究能够判断，给定的句子是不是出于真这个概念而为真，也就是说，是不是表达了逻辑真命题。
[1] G. Frege,“Thought”, in The FregeReader, edited by Michael Beaney, Blackwell, 1997, p.327.
[2] 我们暂且把“思想”理解为句子所表达的内容，到后面再详细讨论这个概念。
[3] G. Frege,“Thought”, in The FregeReader, edited by Michael Beaney, Blackwell, 1997, p.329.
[4] Ibid., p.330。
[5] 事实上，断定句中还包括表达情感和语气的成分，但是在与知识相关的考察中，这些成分不予考虑。
[6] G. Frege,The Foundations ofArithmetic, 2nd edition, translated by J. L. Austin,Harper & Brothers, New York, 1960, p.xxii.
[7] 只要区分了概念间的依赖关系与实例间的依赖关系，就不会把这里所说的误解成是在主张符合论。这里只是在谈论真这个概念的实例与实在这个概念的实例之间的关系。
[8] 一般说来，单靠逻辑就能够判断为真的句子，就被认为表达了“逻辑命题”。不同的哲学家对于这类句子究竟为何为真，提出了不同的解释。弗雷格的解释是，这些句子说明了真这个概念是什么。因此，对弗雷格来说，由于真这个概念而为真的句子，就表达了逻辑命题。
[9] “中立句”与“中立化”都不是弗雷格本人的术语。我们很难说这种操作是一种形式化，因为它还是保留了内容。因此，这里就用一个新术语。
[10] Dummett:Frege: Philosophy ofMathematics, Duckworth, 1991, p.30.
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