1806年10月14日，在萨勒河西面的高原上，法国和普鲁士的军队狭路相逢，双方兵力不相上下，耶拿会战就此打响。六天后，法军大获全胜，高斯的主要资助人，普军的主要指挥者之一，费迪南公爵在战役中阵亡。此后法军长驱直入，横扫普鲁士，于10月27号攻陷柏林，把腓特烈威廉三世赶到了柯尼斯堡，普鲁士在对法宣战仅十九天后就退出第四次反法同盟。1940年5月10日，德国开始了进攻法国及其周边国家的黄色行动，拥有造价50亿法郎，花费了十一年才建成的马其诺防线的法军及其盟军仅仅比一百多年前的普军多坚持了十几天就宣告失败，6月14日，德国人在巴黎的凯旋门前举行了阅兵仪式。在这之间，法国与普鲁士还打了一场历时十个月,以普鲁士的胜利并统一德国而告终的普法战争和法德为主要参战国的第一次世界大战。抛开战争的正义性和指挥者的军事才能而言，作为一个国家综合国力的体现，我们可以看到法德两国国力的此消彼长。每一位数学家都是社会人，他们或许能加速科学的发展，但永远都不可能跳出时代的束缚。同样，无论数学多么的深奥，抽象，它依然只是人类世界的一个组成部分，数学学科的整体发展并不是依赖天才个体的出现，而是与社会制度，教育水平，时代背景息息相关。很难想象一个温饱都难以保证的国家里，一流的数学家会大批的涌现，而任何一个工业强国都一定会有强大的数学基础。在耶拿会战之前，英国的工业革命已经进行了快半个世纪，经历了大革命的法国虽然又变成了帝国，但是也已经告别了封建制度，而德国的前身普鲁士还是一个农奴制的国家，当时能享誉欧洲的只有香肠和啤酒。落后所以挨打，挨打所以要改变落后的局面，从施泰因到俾斯麦，普鲁士开始了它的强国之路，与此同时，数学的天平就像德法两国的国力对比一样，慢慢地向德国倾斜。
在这段德国数学的黄金发展期中，众多数学家的名字都和两所大学连在了一起，一所是以哥廷根数学学派闻名的哥廷根大学。哥廷根数学学派由高斯开始，经过黎曼，狄利克雷等人的传承，在一个世纪之后由希尔伯特，克莱因，闵可夫斯基推向巅峰，哥廷根学派的成就对当时整个世界数学的发展都有深远的影响；另一所大学是在耶拿会战之后才由冯·洪堡兄弟建立的柏林洪堡大学，虽然它的历史没有哥廷根那么悠久，但是它从创始之初就坚持的教学与科研为一体的办学理念使得柏林大学在诞生后不算长的时间里就拥有一大批世界闻名的校友，前文中提到的雅可比就是柏林大学的毕业生，本章中的两位数学家也都是在柏林洪堡大学取得的博士学位，而下一章的主人公虽然不是毕业于柏林洪堡大学，但在柏林洪堡大学教学经历使他成为柏林洪堡大学最知名的数学家校友。德国大学之间的水平相对比较接近，交流也很频繁，有不少数学家同时和这两所大学有缘。同时期的伯恩，柯尼斯堡等大学也都留下过很多数学家的足迹，为德国的数学发展做出了贡献。
1845年，康托尔(GeorgCantor)出生在俄国的圣彼得堡，也在这一年，二十二岁的克罗内克(LeopoldKronecker)凭借他关于代数数论的论文被柏林大学授予博士学位。二十二年后，克罗内克坐在柏林大学毕业典礼的台下，他此时的身份是柏林大学一名不领工资的非正式教师，在毕业后的这二十二年里他也没有在任何一所大学里正式任职；台上，时年二十二岁的康托尔沿着克罗内克曾经走过的路，成为了柏林大学的又一位博士毕业生。同为犹太人，又有着师生情谊的他们不知此时对彼此是怎样的看法，可曾想到若干年后会因为学术上的分歧而争的你死我活。
如果你认为克罗内克像阿贝尔一样一生都在苦苦追求一个正式的教职，那就大错特错了。克罗内克没有接受任何正式的工作，只有一个原因，那就是他不需要。在毕业后的几年里，他就依靠自己在金融方面的天赋达到了财务自由的状态，也就是想干什么干什么，完全不用为钱担心。就在康托尔毕业的前一年，他刚拒绝了一个世界上没有几个数学家会说“No”的职位---接替黎曼成为哥廷根大学数学系的系主任。此外，克罗内克还有一个柏林科学院院士的头衔，让他可以自由地在柏林大学授课。对于克罗内克来说，数学是一件有意思的事，是一件他喜欢去做的事。有时候我在想，像费马那样完全利用业余时间去研究数学，或是像阿贝尔在温饱的压力下坚持学术生涯，再或者如克罗内克自由的选择数学，到底在哪一种环境下做学问更难呢？我的答案出乎我自己的意料，想了又想，我还是觉得克罗内克所处的环境是最难做学问的。对于阿贝尔这样穷人家的孩子来说，其实并没有太多选择，发挥自己的优势，在事业方面取得最大成功是最佳也几乎是唯一的出路。对于费马而言，业余选手的身份让他可以充分享受数学的乐趣同时避免职业的压力。克罗内克不缺钱，但是如果他不研究数学，可以继续凭借他的金融天赋挣更多的钱。有多少已经达到了财务自由的人被他们的欲望所驱使，有了豪宅还要更大的豪宅，有了名车还要更贵的名车，有了这辈子花不完的钱，还有更多的钱，一生蹉跎于把对于他们已经是数字的钱变成更大的数字。除了抑制住自己的贪婪，克罗内克还需要抵抗住不同的诱惑。一个不缺钱的人可以做的事实在是太多，反正教书也不挣钱，大可以每天无所事事，享受生活，如果觉得不够充实，还可以选择一门艺术或是一项体育运动打发时间。首先，克罗内克一名很好的钢琴家和歌唱家，并且包括门德尔松在内的许多音乐家都是他的座上客，同时他对雕塑和绘画也有自己独特的理解；而在运动方面，他年轻的时候擅长游泳和体操，而后成为一名出色的登山家。克罗内克从没放弃他的文体爱好，但他真正选择的是在很多人眼中无聊且寂寞的数学。当然这只是我的一点浅见，这三位中的任何一人都有理由不把数学做的那么好，但是他们都凭借对数学的爱，没有停下追求真理的脚步。不管谁难谁易，如果我们对于数学的坚持能达到三位中任意一位的程度，也可以心满意足了。
康托尔的家庭背景和克罗内克有很多相似之处，都有着典型的犹太家庭的特征，殷实富足，充满艺术气息的基督教家庭。从他们各自得到博士学位之前的轨迹来看，很难看出他们日后的命运会截然不同。三月三号出生的康托尔是双鱼座，有着敏感忧郁和脆弱的性格，粗暴的言行会使他们的心里受到强烈的刺激；而生于十二月七号的克罗内克则是典型的射手性格，也许他的内心也是敏感的，但是他天性乐观，勇于挑战，而且会越战越勇。这样的两个人放在一起，进行一场战斗，最后的结果也就不出人意料了。当然星座这东西属于大家没事闲聊的谈资，用星座去判断一个人的性格纯属最后的参考，性格的形成和太多因素有关，但不能否认的是，每个人的性格都是独特的，每个人的性格都有脆弱的一面，再次强调因材施教，因为即使是亲兄弟也可能因为性格的天生差异在同样的环境下结出不同的果实。下面这两件事也许更能说明康托尔和克罗内克这种性格上的差异。康托尔很早就显露出他在数学上的天赋和对数学的热爱，但是他的父亲认为既然康托尔掌握了数学这个工具，为什么不把它用在可以带来更多收入的工程上呢？即使在今天，父母与子女在选择专业的问题上存在分歧也十分常见，但是任何一方想要说服另一方都要经过好几轮的的唇枪舌战，更别提很少父母会强迫孩子去改变他们已经显露出天赋并热爱着的专业了。而康托尔的选择是完全的服从，没有任何争辩，对于一个青春期的少年来说，我觉着这不是一件很正常的事。他的父亲在两年后意识到数学才是康托尔的天性，同意他自由地学习数学，现在看来，对康托尔来说，也许学工程并不是一个那么差的选择，至少他可以平静的过完一生。射手座自由而略带叛逆的个性充斥着克罗内克的学生时代，即使在伯恩大学游学期间，克罗内克也加入了当地的学生团体与校方抗争他们喝酒和决斗的权利，而他在数学方面最显著的名声来自于与分析大师维尔斯特拉斯的数学论战。
让康托尔和克罗内克反目的是康托尔创立的集合论。在创始之初，集合论之所以被一部分数学家视为洪水猛兽不是因为它晦涩难懂，而是因为它带给人们思想上的冲击恐怕比罗氏几何还要大。在叙述康托尔1874年他二十九岁所发表的第一个革命性的成果之前，让我们回顾一个比较两个集合大小的简单方法“一一对应。”假设有一个不识数的导游带着一个旅行团到一个糊涂牧场主的牧场骑马，导游不知道旅行团有多少人，而糊涂牧场主也不知道自己有多少匹马，两人谁也不提数字就开始安排团员上马，最后不多不少，每位团员都有一匹马，而且没有马剩下，现在我们虽然还不知道有多少团员有多少马，但我们至少知道团员的数量和马的数量是一样的。如果我们把旅行团和牧场的所有马看成两个集合，那我们可以说这两个集合是一样大的（含有相同数量的元素）。这个方法的好处就是我们无需知道每个集合元素的个数，只要它们的元素之间存在一一对应的关系，我们就可以得到它们大小相同的结论。对于有限的集合，我们总能数出元素的个数，从而比较两个有限集的大小，但是对于无限集合，一一对应是我们唯一可以利用的工具。要回答自然数集，整数集，有理数集，实数集谁大谁小，我们就必须通过找出它们元素间一一对应的关系。你可能会奇怪，自然数集是整数集的真子集，整数集是有理数集的真子集，而有理数集又是实数集的真子集，难道它们的大小关系还不够明显吗？答案并不是那么显然。
自然数是0,1,2,3,4，……，而整数是……,-2,-1,0,1,2,3,……，重排整数为0,-1,1,-2, 2,-3,3,……，考虑从自然数到整数的映射f(n)，如果n是偶数，f(n)=n/2；如果n是奇数，f(n)=-(n+1)/2，不难检验f(n)是双射，所以自然数和整数是一样多的。这就是康托尔第一个令人不可思议的结论，一个集合的真子集可以与这个集合本身含有同样多的元素，用康托尔的话说就是，它们的基数相等或者势相同。有理数集与自然数集的基数也是相同的，证明的方法也是构造出一个它们之间的一个双射。不难看出采用下图排列的正有理数与自然数之间的一个一一对应，并且用同样的思路，我们可以构造出有理数集与自然数集的一一对应。
通过上面的两个例子，我们知道了虽然自然数集，整数集，有理数集有着真包含的关系，但是它们的基数是相同的，在数学里，与自然数集有着相同基数的集合被称为可数的或是可列的，它们的势被记为阿列夫0。（应为希腊字母阿列夫加下标0）
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