中学生数学能力的评价探讨
梁少华
内容提要：展示发展性评价的客观性、全面性和合理性，提出作者对现阶段许多学校存在的片面评价学生，分数至上的思考和担忧，阐述作者的一些个人观点和看法，描述作者在实验过程中的一些教训和收获，以表明发展性评价在中学开展的迫切性。
关 键 词：问题解决 元认知 数学学习能力 过程性知识
观念 研究性学习
在“应试教育”向“素质教育”转轨的今天，在许多中学的数学教育评价中，分数仍以它在家长、学生、教师、乃至社会上不可动摇的位置，成为评价一个学生是否优秀的唯一标准。值得庆幸的是：在新的《全日制义务教育数学课程标准》中指出了改革的方向：“评价的目的是为了促进每一个学生的全面发展。”国际程序委员会认为：评价就是对教育价值上的判断。“数学学习能力评价应由单纯的考查学生的学习结果转变为关注学生学习过程中的变化与发展，以全面了解学生的数学学习状况，促进学生更好地发展为评价的最终目标，既要关注学生学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展，既要关注学生数学学习的水平，更要关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感、态度和个性倾向。”新标准表明：分数不再是评价学生数学能力的唯一标准，我们应该根据学生学习数学的“知识与技能”、“过程与方法”、“情感、态度与价值观”和“一般能力”等多方面目标的达成与发展状态来对学生的数学能力进行评价。
一、评价的内容——有价值的数学
在评价的内容方面，评价的内容更多地指向“有价值的数学”——有价值的数学任务和数学活动，数学任务的完成更多地需要有意义的“做数学”过程，更多地暴露出学生的数学思维过程。
其实，“做数学”的过程就是“问题提出”到“问题解决”的过程。“问题解决”(Problem Solving)的口号提出，始于1980年的美国，至今一直被人们广泛接受，成为数学教育的中心课题，这就说明，“它不是一时一地的权宜之计，而是历史的必然，符合时代潮流的明智之举。”在我国，由“应试教育”向“素质教育”全面转轨的今天，提倡“问题解决”无疑是数学教育改革的突破口。然而，由于对“问题解决”的片面理解，传统的“传授——接受”式教学思想在“问题解决”教学中表现得还很突出，即学生总是被要求去解决由其他人(教师、教材编写者，出考题者等)所提出的问题(更多的是传统的考题)，在问题解决过程中没有突出学生主动建构学习的活动，从而就不可避免地处于一种被动的地位。这事实上也就是“问题解决”这一口号何以常常与“应试教育”表现出一定的相容性，甚至为后者所利用的一个重要原因。然而，在解决问题的过程中，我们常常需要引进辅助问题：“如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？……”爱因斯坦也认为：“提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，新的可能性，从新的角度去看待旧的问题，却需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。”而影响“问题提出”的因素很多，其中最为突出的、也是常被忽视的因素是“元认知”(Meta Cognition)和
“观念”(Belief)。所谓元认知即认知的认知。“问题解决”活动中的元认知是指问题解决者对于自身所从事的数学活动的自我意识、自我分析和自我调整。所谓“观念”，是指问题解决者的数学观、数学教育观及其对于自我解题能力的认识和信念等。诸如：教师的职责是“给予”，学生的职责是“接受”；学习数学的方法就是记忆和模仿，你不用去理解，也不可能真正搞懂；问题中给出的条件一定是恰好的；每个问题都含有唯一的正确答案和唯一正确的解题方法；教师给出的每个问题都是可解的，我解不出是因为不够聪明等不正确的观念，将严重影响问题解决者自觉地进行“问题提出”，出现类似“船长年龄”（见附录）问题的错误也就不足为奇了。但是，目前分数第一的评价标准，既限制了学生的全面发展，又让教师无奈的回到“应试教育”。
又如，在评价时适当引进开放性问题，是培养学生高层次能力的有效策略。目前，我国对学生数学学业的评价内容仍然是以封闭性、顺向思维的问题为主。评价的目标比较强调考察学生的基本概念和基本技能，并以此作为考察学生能力的基础。由于封闭性评价的内容记忆性的问题多，思考性的问题相对较少；靠程式化和技能化解决的问题比较多，需要高层次、开放性思维来解决的问题比较少。旧评价侧重点是问题的答案而不是学生解决问题的思路和策略，关注的是结果而忽视了学生思考的过程。因此，在数学学习评价中应该引进一些开放性问题。另外，学生逆向思维能力的培养也十分重要，如一个题目：要学生编一道题，要求解答的结论要是一个分段函数。以下是几个平时成绩平均分不同档次学生的答案（括号里是该学生平时成绩）：
（65）小明驾车从A城开往300公里外的B城，时速60公里，不幸在距B城90公里处出车祸，15分钟后，小明被救护车救走，救护车以时速90公里开往B城医院，问小明离A城的距离与时间t的关系？
（63）正六边形ABCDEF边长为2，有一点P从点A出发，以每秒为1的速度沿BCDEF移动，再回到点A，问AP的长与时间t的关系？
（如图） E D
F C
A B
P
（52）衬衣促销，原价每件30元，现在买5件以上打9.5折，买10件以上打9折，买30件以上打8.5折，问所买衬衣件数x与总金额y的关系？
（80）平行四边形ABCD，AB长3厘米，CD长2厘米，∠A=60o，点P从点A出发，以每秒为1厘米的速度沿BCD移动，再回到点A，问AP的长与时间t的关系？（如图）
D C
A P B
（74）在课本的基础上稍作修改的自来水收费问题。
以上的五个方案并没有明显的优劣之分，如果以成绩来选择方案，来对他们进行评价，而不去认真阅读，我们会错过很多优秀的“点子”（如，第一、二个方案），也会失去很多优秀的学生（第三个也不错），所以我认为：发展性评价才能更正确地认识学生。
二、评价的重点——过程与能力
在评价的重点方面，评价的重点应是过程和能力，即主要评价学生运用知识与技能来分析问题、解决问题的思维过程和能力，创新意识和实践能力，而不只是单纯的知识、技能与技巧的回忆、模仿和复制，《标准》指出：“不要单纯考查学生对某些定义、公式、法则和解题步骤的记忆，纯粹的数学运算要置于解决问题的过程之中。”
对于能力，埃德加·富尔在《学会生存》一书中指出：“未来的文盲不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”现代社会，人类可以统治世界，也是通过学习不断进化得来的成果。我们所界定的数学学习能力包括观察力、记忆力、思维力、想象力、注意力以及自学、交往、表达等能力，而并非单纯的表面分数。如，前几年一直有争论的一个话题：作为获得国际数学奥林匹克竞赛多年冠军的我国，为何从未取得过数学界的最高奖项：菲尔兹奖（见附录）？这是值得我们去思考的的一个问题：分数真的等于能力吗？我们就可以被评价为“国际数学权威”吗？显然不可以这样认为，我们应全面地进行评价。
对于过程，评价时要注重学生的过程性知识形成与掌握的评价。所谓过程性知识是指运用知识解决问题的过程与策略的知识。这样的评价也有助于教师对学生有一个较全面的了解，而不是把评价简单地处理成给出一个分数。评价时还要注重学生综合联系与实践能力的评价，因为学生学习数学的重要目的是为了能综合运用所学知识解决实际中的问题。如，实践活动对于评估学生理解和综合运用数学知识的能力是有效的。在对学生综合运用知识解决问题能力的评价时，应关注学生参与活动的程度以及在解决问题过程中所表现出来的思维水平、与同伴合作的态度等。对这种能力的评价不仅是一种终结性评价，也是一种过程性的评价。因此，我们应该在课堂以外，在课本以外，注重营造比较宽松的、开放式的评价环境，尤其是应重视对学生课题研究性学习的评价。提供一些“课题”，让学生选择研究，可以独立完成，也可以合作完成。①研究消费问题。如：调查家中近两个月的各项开支情况，说说你由此想到了哪些数学问题。②研究交通线路问题。如：如何坐车回家路程最短？如何坐车回家花费最少？又如何能既快又省？说说你想到了什么数学问题。③研究一些数学原理。如，黄金分割，数学博弈论，创建数学网页，数学自然现象等等。这些研究都包含了一定程度“做数学”的活动过程，体现学生对所学知识的理解、掌握和灵活运用，体现、考察学生的高层次思维能力，培养学生的创新意识。而给他们成果（论文、课件、网页）的评价不是一个分数，是在整个研究过程中的体会和收获。
三、评价的方式、方法 ——全面，多种形式结合。
对学生数学能力的评价应全面进行：(1)学生的数学才能，从知识、能力、理解、气质等多方面评价；(2)解决问题能力，从形成问题，运用策略，获得结论，推广解法等方面评价；(3)数学交流能力，从表达个人数学思想，理解别人以书面或口头所表达的数学内容两方面评价；(4)推理能力，即从是否正确理解和运用各种推理方法评价；(5)数学概念，即对学生理解数学知识，掌握数学概念的评价；(6)数学程序，即对学生理解、辨别、选择、建立、执行数学程序的评价；(7)数学气质，即对学生学习数学的兴趣、信心、灵活性、坚持性的评价。
对学生数学能力的评价应多种方法、形式结合：笔试、动手操作（实验）、课题研究活动，撰写论文或调查报告、小组实践活动、自我评价、面谈、提问、日常观察等多种方法相结合；书面考试、口试、课堂提问、平时作业等评价形式结合。
另外，苏霍姆林斯基说：“对学生来讲，最好的教师是教学活动中忘记自己是老师而把自己的学生视为朋友，志同道合的那种老师。” 教师要充分尊重学生的主体地位，就要做到课堂民主化，允许学生提出不同的观点，展开讨论，这是全面的、多种评价方法结合的前提条件。
四、评价结果的表达方式
在对学生的数学学习能力不同情况和条件下的评价，应有不同的标准。如，在表述评价结果时，可以用描述性语言对学生在活动中的表现、知识掌握情况和能力水平进行表述。注重定性表述和定量表述相结合，更多地关注学生自身的发展。评价结果的定性表述主要指对学生的学习情况给出建议与说明；而评价结果的定量表述，是指对学生的学习情况给出等级或者分数。对评价结果的定量表述，更多地重视学生自身的纵向比较，要更多地关注学生已经掌握了什么、具备了什么能力，而不是首先关注他们的知识和能力上的不足。
五、一点建议
发展性评价体系对学生学习数学的评价应该不再是教师高高在上地评判学生，也不再仅仅为了鉴定和选拔，而是着眼于学生的进步与发展，也体现了“学习评价旨在促进人的发展”的理念。培养创新精神，就是要改变学生不正确的观念，树立不迷信权威、不墨守成规、不怕失败、敢于标新立异、不怕冷嘲热讽、不断开拓进取的精神，正确引导和热情鼓励那些平时会“耍小聪明”、能使出“雕虫小技”和“敢于吃螃蟹”的学生，促使他们勇于进行“问题提出”。而作为教师和学校，我们也应该以发展的目光去看待新鲜事物和学生，对学生的每一次评价都应该全面、公正和标准，不以分数来衡量一个学生的能力和成就。
附录：
1、菲尔兹奖：
菲尔兹奖是由数学界的国际学术团体——国际数学联盟，从全世界的第一流数学家中遴选的。就权威性与国际性而言，任何其他的奖励都无法与之相比。菲尔兹奖四年才发一次，每次至多四名，因而获奖机会比诺贝尔奖要少得多。但是主要的原因应该是：迄今为止的获奖者用他们的杰出工作，证明了菲尔兹奖不愧为最重要的国际数学奖。事情就是这样：从表面上看，一项奖赏为获奖人带来了巨大荣誉；而事实上正相反，正是得奖工作的水准奠定了这项奖励的学术地位的基础。菲尔兹奖首先是一项工作奖（这一点与诺贝尔奖金相同），即授予的原因只能是“已经做出的成就”，而不能是服务优秀、活动积极等其他原因。但是菲尔兹奖只授予四十岁以下的数学家（起先是一种默契，后来就成为不成文的规定），因此也带有一点鼓励性。
2、船长年龄：
美国加州大学教授舍费尔德（A.Schoenfeld）曾别出心裁，拟出一道妙题，测试小学一二年级的学生。大多数学生得出了一个奇异的答案。这件事发生在1986年。题目极为简明：“一条船上有26头牛，19头羊。问船长的年龄是多大?”参加测试的学生共有97名，其中76名得出“答案”：船长的年龄是45岁。这76名学生占所有参加测试学生的78％。我国数学教育家也用这道妙题测试了国内的78名五年级学生。只有8名说此题无解，误答的学生人数占参加测试学生总数的89％，高出美国学生11个百分点。舍费尔德教授针对美国学生误答的状况，向人们提出一个发人深思的问题：“我们是否把学生越教越笨?”
参考资料：
吉延云 谈课堂教学中教师的主导作用和学生的主体作用 2002
张奠宙 数学教育研究导引 南京、江苏教育出版社 1998
郑毓信、梁贯成 认知科学、建构主义与数学教育 上海教育出版社 1998
郑毓信 问题解决与数学教育 南京、江苏教育出版社 1994
赵振威 数学发现导论 合肥、安徽教育出版社 1993
王甦、汪安圣 认知心理学 北京大学出版社 1996
朱德全 数学问题解决的表征及元认知开发 北京：教育研究 1997(3)
严建兵 “问题提出”与创新教育 北京：光明日报 1999-09-22
谢学宾 构建发展性评价体系，促进学生主动发展 2002
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