远古的梦——《规·矩图》

2016-10-02 

不以规矩，不能成方圆。 ------《孟子》

世界上的一切都必须按照一定的规矩秩序各就各位 ------莱蒙特

新疆吐鲁番市博物馆陈列着一幅古老而又奇特的人物画像：中华人文始祖伏羲与女娲像（出土于高昌古城郊的阿斯塔娜古墓地）。

 阿斯塔娜古墓里的伏羲女娲像

画的上半部是两人的上半身。左边那位高绾的发髻，细长的眉毛，端庄的脸上点缀着胭脂，眼中的神情显露出娴静，正是女娲；右边这位，头上绾着方巾，外面插着一支形似满弓、尾如麦穗的簪子，面与女娲相对，两道长眉中间点着一记朱砂，圆圆的脸庞上漾着祥和的韵味，平添了一种神的超然，正是伏羲。有关人文始祖的其它方面暂且不论，我们主要看看他们的手里主要拿着什么？是干什么用的？左边是伏羲，他手中拿的是“矩”，右边女娲手中拿的是“规”。有意思的是，我们逐渐发现，这不是个例。

再看一副：1959年故宫博物院成立历代艺术馆，作为历代艺术珍品在基本陈列中展出的女娲伏羲像。此图上彩画人首蛇身男女二人，男子居左，微髭，高髻，张左手执矩，女子居右，束高髻，张右手执规。两人头上有圆轮一轮，以线相连象征日，两人尾下有圆圈以线相连象征月。画面四周遍布大小相等的圆圈，以线相连象征星辰。

唐代伏羲女娲图 

这就是传说中的女娲手持规补天（圆），伏羲手持矩管地（方），从而规矩宇宙。

最早的伏羲女娲图发现于湖南长沙马王堆的帛画，而且早至汉代就有画石像伏羲女娲手持规矩图,还有山东历城武梁祠石室造像拓片,唐代帛锦规矩图等等。

 四川汉代画像石

 汉武梁祠石室造像拓片

女娲伏羲像页，唐，绢本，吐鲁番遗画。

这些图都不约而同地画着伏羲女娲手持规矩，而且这类伏羲女娲图，并非出自某个大家之手，而是各族居民中寻常画匠的通常之作，既是谋生的手段，也是葬礼的必需。

这个其实很有意思，人文始祖为什么都是手执规矩？难道真是补天造地？

当然，这只是一个象征意义。原来，“规”和“矩”是中国古代最重要的两件绘图工具，“圆曰规，方曰矩。”，正所谓“没有规矩不成方圆”。规矩在中国远古就是天文测量工具，也是地理测量工具，也是木工测量工具。“规”就是圆规，是用来画圆的工具，在我国古代甲骨文中就有“规”这个字。“矩”由长短两尺合成，相交成直角，尺上有刻度，短尺叫勾，长尺叫股。“勾股定理”之名正是因此得来。相关资料显示，古代车轮的检验就是用圆规进行的，而古代的铜镜和车轮毫无例外的证明古代人肯定是精通圆规如何使用的。

这里有个插曲：1983年，联合国教科文组织的杂志《国际社会科学》，以“化生万物”为名，在首页插图上刊登了一幅伏羲女娲交尾图（唐，绢本，吐鲁番遗画），这幅图是1949年前被外国探险家从吐鲁番阿斯塔那墓中盗走的，现藏于美国波士顿艺术博物馆。有一天，一个西方人面对着这张图突然惊讶得说不出话来：这张图上蛇尾的交缠，不正是双螺旋线的结构方式，不正是生物的基本遗传物质脱氧核糖核酸DNA分子结构吗？

DNA分子双螺旋结构

对伏羲女娲图的重新解读让世界惊异不已，中国古老文明所蕴涵的内容，再一次引起西方社会的骚动。这是科学与艺术的相通，还是现实与历史的相似？是东西方生命哲学中存在着某种同一性的公理呢？还是它就只是巧合？我们不得而知。

其实，西方文化中似乎也很看中“规矩”。从这方面看，东西文化殊途同“规”。

在西方人看来，上帝也是用美丽的数学来规矩这个世界！如图，这幅《缔造者圣父上帝》是13世纪中期法国《圣经的道德教谕》一书中的插图，作者已不详。只见画中，上帝正光着脚，全神贯注于手下的杰作，我们似乎能够感觉到，他正在调动自己全部的智慧和力量创造宇宙的洪水与陆地、太阳与月亮、地球与星辰。

《缔造者圣父上帝》

在中世纪这样的“黑暗时代”，古代希腊、罗马的书籍、文字、知识都在战乱中失传了，而有限的读书与识字的权力又掌握在教会和僧侣的手里，普通公众根本无法得到知识的引导，他们当中的绝大部分都是不识字的，于是，图像就成了民众接受基督教义训诫最好的方式。

英国画家威廉·布莱克（William Blake，1757～1827）是英国第一位重要的浪漫主义诗人、版画家，也是虔诚的基督教徒。现在他被誉为伟大的独一无二的富想象力的英国诗人。他有一首诗，名为《天真的暗示》，“一颗沙里看出一个世界，一朵花里藏着一座天堂。”似乎较早地预示了自然分形的奥秘。

威廉·布莱克

下面我们再从他的两幅版画做些了解。他的作品《古代的日子》（The Ancient of Days，1794）中，上帝正于宇宙混沌之初，手执圆规建构他心中的天地，同时，宇宙正慢慢地充盈光芒。画面强烈地暗示着数学就是大自然的法则。

《古代的日子》  

另一作品《牛顿作为一个神圣的几何学家》（1795）很是奇妙。在浪漫诗人画家的笔下，牛顿就这样成了一位神圣的几何学家，拿着尺规规划着，他理解的世界，一个等腰三角形，里面一段圆弧，而画布的一边正卷成一个螺旋形——一个自然的符号。 

   《牛顿作为一个神圣的几何学家》

当然，同样是“规与矩”的使用，东西方又呈现出完全不同的理解和态度。古代希腊人从一开始就较重视规、矩在数学中训练思维和智力的作用，而忽视规矩的实用价值。正因此，他们于2500多年前就提出了尺规作图问题。

所谓尺规作图，就是只能有限次地使用没有刻度的直尺和圆规进行作图。尺可以作过两点的直线，可以无限的延伸线段；规可以以任一点为圆心，作过任意其他一点的圆。

据说是古希腊的安那萨哥拉斯(Anaxagoras，公元前500～428)首先提出作图要有尺寸限制。他因发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被关进监狱，并被判处死刑。在监狱里，圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，于是他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他想利用有生之年的最后时刻思考改圆成方。他不可能有规范的作图工具，只能用一根绳子画圆，用随便找来的破木棍作直尺，当然这些尺子上不可能有刻度。另外，对他来说，时间是不多了，因此他很自然地想到要有限次地使用尺规解决问题。这就是著名的“化圆为方”问题。有幸的是经过好朋友、政治家伯里克利的多方营救，安那萨哥拉斯获释出狱。我们才得以知道这个尺规作图法。当然，这个故事有戏说可能。事实上柏拉图很重视数学，强调学习几何对训练逻辑思维的重要性，主张作图工具要有限制。后来以理论形式具体明确这个规定的是欧几里德的《几何原本》。似乎也因此，欧几里得的人物肖像常配以尺或规为其标志性物件。

 欧几里得持尺规像

尺规作图中最著名的是被称为“几何三大问题”的三个古希腊古典作图难题：立方倍积问题、三等分任意角问题和化圆为方问题。

■三等分角问题：三等分一个任意角；

■倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍；

■化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积。

三大尺规作图问题的解决

mathandart

在欧几里得几何学的限制下，以上三个问题都不可能解决的。有意思的是，这样一个几何作图问题最终转化为代数问题。简单说明一下：每个线段长度相当于一个实数a，那么从1和实数a、b出发，就可以用尺规做出它们有限次的和、差、积、商以及开方。于是，以上三个问题本质上就是这样一个“求一个实数”问题了。圆化方，相当于要用1作出π；倍立方，要作出2^1/3 ；而三等分角，则是能用1和a，作出4 x³ -3x+a=0的根（这里计算过程以及超越数问题从略）。直至1837年，法国数学家万芝尔首先证明“三等分角”和“倍立方”为尺规作图不能问题。因为一般的三次方程的根不能用二次根式表示；而后在1882年德国数学家林德曼证明π是超越数，不是任何整系数有限次方程的根，则“化圆为方”也被证明为尺规作图不能解决的问题。至此，才结束了历时两千年的数学难题公案。

不过，你可能在想，为什么一定不能有刻度呢？为什么做这样的限定呢？这就像踢足球要设置球门，打羽毛球要有球网一样，只有有限制的竞技才能推进人的进步，挖掘人的潜能，也满足满足人类的好奇心。

尺规作图故事——正十七边形

德国10马克纸币上的数学家高斯 

1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。他感到非常吃力。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，……”导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。青年很快做出了一个正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才!” 原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我可能永远也没有信心将它解出来。”

传说中的高斯正十七边形尺规做法

也因此，高斯决定一生研究数学，于是，数学史上才有了“数学王子”！据说，他表示希望死后在他的墓碑上能刻上一个正十七边形，以纪念他少年时最重要的数学发现。可惜，十七边形太接近圆了，以至于建筑师就以圆来代替。他的母校哥廷根大学实现了他的遗愿，为他树立了以“正十七棱柱为底座的塑像”墓碑，为后世永远铭记。或许这就是数学的魅力。数学吸引了这个世界上有才智的人，有才智的人又不断创造新的数学。

哥廷根大学高斯纪念碑

接着，高斯又对一般正多边形的作图问题进行了更深入的研究，1801年，他证明了正多边形能尺规作图的“高斯判据”，从而彻底解决了这个两千多年来悬而未决的数学难题。即：正 N 边形可用直尺和圆规作出，当且仅当N = 2^m p₁ p₂ ...... p_k，其中p₁ ,p₂ ,...... ,p_k 是互异的费马素数，即形如2^{2^n}的素数 。真的有意思，一个千年几何难题的谜底竟在数论中！因此，用尺规可以作出的边数为素数的正多边形只有：正三角形，正五边形，正十七边形，正二百五十七边形，正六万五千五百三十七边形 。

尺规作图故事——圆的四等分

说起拿破仑·波拿巴（Napoléon Bonaparte，1769～1821），大家首先想到的是他是十九世纪著名军事家、政治家，法兰西第一帝国的缔造者。而作为法兰西科学院数学院院士的他则鲜为人知。他一生酷爱数学，是个不折不扣的几何学发烧友。行军作战时，他会兴致勃勃地跟学者讨论科学问题。他身边汇聚着那个时代最聪明的头脑，包括被誉为法国“牛顿”的拉普拉斯(Pierre Simon Laplace，1749～1827)、分析力学的创立者拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736～1813）、画法几何学之父的蒙日加斯帕尔·蒙日 （Gaspard Monge，1746～1818）、提出傅立叶变换的傅立叶（Baron Jean Baptiste Joseph Fourier，1768～1830）等等数学家。

拿破仑画像（雅克·路易·大卫作）

在几何学上，还流传着一个很著名的定理，称为“拿破仑定理”。据说是由拿破仑发现和论证的：如果从一个任意三角形的三边上向外或向内分别做三个正三角形，那么这三个三角形的中心彼此联结起来，必然也是一个正三角形。（看到这，我们真的没有理由不用功！）

拿破仑定理

而四等分圆周问题最早是由意大利数学家罗兰索·马歇罗尼（Lorenzo Mascheroni，1750～1800）向拿破仑·波拿巴提出的。后来变成：只给定一圆，只用圆规将此圆四等分。当然，在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。如果假设半径为1，那么这个问题就转化为如何作出长的问题。不妨试试。

圆的四等分

更有意思的是，就是这个马谢罗尼，他证明了一件惊人的结论：只要用一只圆规，就能完成圆规与直尺能完成的工作！也就是说，凡是用圆规直尺能够确定的点只用一只圆规也能把这个点确定。当然，除了画直线。不过，这个问题早在1673年，丹麦人摩尔（George Mohr，1640～1697）就已经证明了，这就是单规作图。

“规矩”的故事远没有结束。出现在18世纪的英国，一种带宗教色彩的兄弟会组织，也是目前世界上最庞大的秘密组织“共济会”，字面之意为"自由石匠"（Free～Mason），它最基本的代表性纹章也是由分规、曲尺和书本组成的象征符号。他们自称为该隐（亚当夏娃之长子）的后人，通晓天地自然以及宇宙的奥秘。这本身就是关于“规矩”的一段具神秘色彩而没有停止的插曲。

共济会的象征符号

规·矩作为永恒的主题，似乎从来就没有被艺术家们忘记，只待有缘人。

艺术家唐明伟（中） 

80后的抽象几何艺术家唐明伟或许表达的更加直接而清晰。

用尺规演绎到画布上，然后用照片的方式呈现出来，那油画布的肌理和油画布昏黄的颜色正好消解几何图形的机械性，以及消除那种做题的冲动……————唐明伟

他的几何抽象风景画从几何图形中重新抽象出另一道风景。原来三角形、圆、尺规作图等几何图形除了内在理性美，还可以表现的如此之美。

唐明伟作品选

这些画作感性与理性并存，在保持图像的雅致的基础上又不失其逻辑的精确性。当然，这样的几何抽象本身已到极致，抽象几何形式还会如何推进？我们不得而知。我们只知道艺术家们也在寻找合适的机缘。

最后，再来欣赏几个牛人的利用尺规作图设计的动物系列。

尺规作图设计的动物系列

尺规作图还可以这么用，欧几里得肯定想不到。

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