第二百零六夜：三元不等式的最值

风吹古木晴天雨，清凉倒是清凉，就是平添许多惆怅。

这岂非是刷题的好时节？

你为什么总喜欢刷题？

因为外面在下雨。

外面下雨跟你刷题有什么关系？

我刷不刷题跟你又有什么关系？

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

自从有了“不等式选讲”，不等式的地位岌岌可危。那些闪烁着智慧光芒的不等式好题被淹没在历史的故纸堆里。

历史不会重演，但历史往往会惊人的相似。所谓十年河东，十年河西，相信不久的将来，它的身影又将引领潮流。

三元不等式，消元法是首选，其次是借助著名不等式放缩，最不济是瞎蒙。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

  

  

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

你看到了，法1和法2均是消元法，一是直接消元，二是引入参数消元，方法各有千秋，目的只有一个——减少变量干扰。

【法1】，消元法。利用等差中项消去变量c，得到关于a的一元二次方程，由判别式求得b的上界。求根，并利用两边之和大于第三边，解得b的下界。

法1运算量稍大，但容易想到。

【法2】，消元法。利用等差数列中的对称设元，将条件转化为关于b和公差d的关系。同样，借助构成三角形的条件得到求得结论。

显然，法2在思维上和运算上均优于法1，这便是对称设元的魅力。

法3与法4主要针对b的上界而言，换言之，本题可改编为求b的最大值。

但如果是这样，本题也就失去了它的价值。因为b的最大值很容易猜到，即三角形ABC为等边三角形时取得（也可由轮换对称性得到）。

  

4  操作

形同陌路，抑或一见如故