如果造物主真的存在——
比起神，他更应该是一个程序员。
1978年，美国的洛伦·卡彭特（Loren Carpenter）供职于西雅图波音飞机公司，其工作内容是协助飞机工程师完成可视化的飞行状态模拟。他想在自己的电脑里画出飞机下空连绵的山脉，而当时的电脑绘图技术似乎无法帮到他什么：毕竟连奥斯卡也是直到这一年才首次设立了“最佳视觉效果奖”，获奖影片是特摄技术的产物——《星球大战》。
换你也会想回到那个年代，当一名特技师的
想要绘制出逼真的山脉，需要高精度地还原岩石效果和断面形态。虽然很少有曲面，但这在当时可不是一个轻松的差事——更何况卡彭特想做的，是一整个飞行区域的地况全貌。
然而，卡彭特在不久前所看的一本书给了他一丝灵感。卡彭特意识到，既然山脉的每个面都是平面，也就是说可以将其看成是不同三角形的叠加。那如果赋予电脑一套指令，让三角形能够按照指令所赋予的逻辑规律进行重复和积累，最终实现“生长”，是否就能在电脑里生成三维的山脉了呢？
众望所归，卡彭特在三天之后便史无前例地成功在电脑中绘制出连绵的逼真山脉，凭借着键盘和鼠标扮演了一回创世者的角色。借着这股巧劲，他硬是一个人开创了特效制作的新纪元。四年之后，卡彭特加入了卢卡斯影视公司，并在《星际迷航2：可汗之怒》中创造了一个完整的星球。
而那本给予卡彭特灵感的书名为《FACTALS》，该书作者是本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）——一位在当时没啥名气的数学家创造的一个词汇，来自拉丁文frāctus，有“零碎”、“破裂”之意，直译为“分形”。而这个不知名的数学家，后来也凭借着分形理论成为了极少数能够成功挑战古典数学体系的数学家之一。
本华·曼德博
但是在介绍他的故事之前，我们不妨先往回捯饬捯饬。
康托尔集
1883年，德国数学家康托尔（Cantor）提出了康托尔集的概念：
三等分一条长度为1的直线段，去掉中间一段，留下另外两段。
将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段。
重复上述操作，线段数目会越来越多，线段长度会越来越短。公式表达为：
边长r=(2/3)^n，
边数N(r)=2^n。
在极限条件下，最后一次操作后将剩下无穷数目的线段，每条线段的长度趋于无限小，可将其视为点。
而所有这些点所形成的离散集合，便是康托尔集。
其实在当时，这一概念已经让数学界嗅到了一丝危险的气息：这既不像点的轨迹一样可以用简单的函数进行表现，也无法用任何一个经典方程式加以解释。更奇怪的是，不管框选出多大或者多小的一个子集区域，看上去都跟整体一模一样。
科赫雪花曲线
1904年，瑞典数学家海里格·冯·科赫（Helge von Koch）则干脆把这种规律放到了平面几何中加以表现:
设想一个边长为1的等边三角形，
取每条边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似但边长为其三分之一的三角形，
我们可以得到一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，
以此重复，直至无穷。
由于最后得到的形状特别像是显微镜下的雪花，人们将其命名为科赫雪花曲线。
科赫雪花曲线所形成的面积虽然越来越大，但不管怎样都不会超过原始三角形的外接圆。然而更为诡异的事情发生了：曲线的周长在一次次的变化之后越来越长，直至无限长度。
也就是说，一条无限长的闭合曲线边界，却包围出一个明确有限的面积。这分明站在了当时数学界保守派的对立面。正因如此，当时的人们也将其称为病态曲线。
豪斯多夫维
14年之后，波兰数学家豪斯多夫·贝塞科维奇维（Hausdorff-Becikovich Dimesion）再一次向保守派数学家发起冲击——他开始质疑维度为什么非得是整数。
在搞懂豪斯多夫维之前的概念之前，我们先来看看保守派数学家是如何解释维度的：
一条长度为1的直线段，我们将其本身进行二等分，得到2^1=2个长度为1/2的线段；
一个边长为1的正方形，我们将其边长进行二等分，得到2^2=4个边长为1/2的正方形；
一个边长为1的正方体，我们将其边长进行二等分，得到2^3=8个边长为1/2的正方体。
我们发现，将一个图形的边长裁切为1/a长度时，会得到b个图形，其中满足a^D=b关系，而这个D，就是我们常说的维度。
在古典数学体系里，维度D只能是整数。这似乎没有什么不对。
但是，豪斯多夫发现了问题：
我们画一根线段，
如果用0维的点来进行衡量，结果为无穷大，因为一条线段中包含无穷个点；
而如果拿一块平面去衡量，则只能得到0，因为直线中不包含平面；
所以我们只能用1维图形来衡量1维的线段长度。
同样的，我们用1维的线段去衡量平面，结果也是无穷大；
拿一块3维的体去衡量，只能得到0；
我们只能用2维的图形去衡量2维的平面大小。
再来看看科赫曲线，用1维的线段去衡量，我们得到的结果是无穷大；
用2维平面去衡量线段，则只能得到0——
因此，我们只有拿一个介于1维和2维之间的图形去衡量科赫曲线，才能得到一个确切有限的值。
也就是说，科赫曲线的维度，与能够测量出其确切有限值的图形一样，介于1维和2维之间。
另外，豪斯多夫还通过计算得出了科赫雪花曲线的维数d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
从奇怪的数集，到雪花曲线的诡异之处，再到对维度的重新认知，分形理论正在以不可阻挡的趋势发展着。接下来终于轮到上文提到的“不知名数学家”——曼德博登场了。
曼德博在大学毕业之后就到高校中当起了人民教师。而在1958年，他终于受不了枯燥的教课生活，去了一家公司上班。当时的这家公司正被一个事情困扰：通过电话线传输计算机数据的过程中，信息往往很难准确传达，电话线路上也随之会产生严重的噪音干扰。
曼德博将那些噪音绘制成了图像，然后惊奇地发现：无论是截取多少时间长度的噪音图像，一天、一小时，甚至一秒，截得的图像都极为相似！
和读到这里的你一样，曼德博也联想到了康托尔集和科赫雪花曲线：重复、积累、自我相似、迭代，这些巧合绝非偶然。
另外，曼德博去的那家公司，叫IBM。
借助于IBM的研究环境，曼德博开始用计算机研究分形。而其中又以对朱丽叶集的研究所获得的进展最为有趣：
设定一个公式为f(a),将a1代入得到a2，
再将a2代入原公式，得到a3，
重复上述操作，就能得到一个关于公式f(a)的数集[a1,a2,a3,…]，
这个数集便是法国数学家Gaston Julia在早年间提出的概念——朱丽叶集。
当年朱丽叶无法对自己提出的这个概念进行更为长远的迭代计算，但是IBM的曼德博可以，因为他有计算机。
曼德博将朱丽叶集中的数字转化为点，绘制成图形，出来的结果又一次把自己吓到了。
有这样的，
这样的，
甚至这样的……
每一个被定义的公式f（a），都会有相对应的分形图形，且每张都具备极高的美感。最后的最后，曼德博创造了一个能够包含所有朱丽叶集的数集，对应的方程是f（z）=z^2+c,这同时也正是开篇那张动图背后的方程式。
无论截取的是怎样一个区域，你都能看到相似的图形。将一个局部充分放大到无法想象的地步，却突然间似乎回到了最开始的那个局部。这一刻，也许你会对山重水复一词有了新的理解。
但并不是说你一直在做无用功。恰恰相反，正是朱丽叶做不到，计算机能做到的高次重复性操作，与对单元的无限度积累，才使得曼德博成为了最后磨破冰面的幸运儿。
1967年，曼德博在美国《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长？统计自相似和分数维度》（How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension）的著名论文。在此文中，曼德博第一次公开向世界阐述自己的研究，顺便帮着人们解决了海岸线测量的问题。
众所周知，每个国家的海岸线都是极其不光滑的，处处有着蜿蜒复杂的转折。然而在不同的衡量单位下，我们总能得到不同的结果。其实也很好理解，当我们在测量海岸线长度的时候，其实是在拿一定单位长度的“尺子”去进行测量，再计算“尺子”的数量，便能得到答案。而一旦“尺子”的标准不一致，也就意味着精确度不一致，结果自然也会大相径庭。
按道理来说，只要“尺子”足够短，就能测得足够准确的数值。但问题是，人们总是希望能得到更为精确的结果，但是去哪找能够无限缩短的尺子？
但对于曼德博来说，这似乎不是什么难事。他发现，在空中拍摄的100公里长的海岸线与放大了的10公里长海岸线的两张照片，看上去会十分相似，这符合广义上分形模型的标准。所以曼德博认为，之所以人们总是测不准海岸线，是因为我们在拿欧氏几何中1维的标准去测量一个符合分形规律的非1维图形。而曼德博所要做的，只是计算出海岸线的“粗糙度”，即海岸线的维度——1.26。往后只要将维度考虑到计算过程中，就能得到准确的海岸线长度了。
其实不仅仅是海岸线，在曼德博眼里整个自然界都是可以用数学来表现的：
云层的翻滚
甚至是葛饰北斋笔下的海浪
有太多太多的证据支持着曼德博的观点。满眼望去，整个世界都是重复与积累的产物。这难免会让一部分人感到害怕——在此之前，自然形态对于数学家来说绝对算是一个禁区。而曼德博此时就好比跳出来说：“诸位，我已经知道上帝是怎么创造世界的了。”
和其他大部分伟大的发现一样， 曼德博的论文在发表之初遭受了不计其数的冷眼。当时美国一个数学八卦杂志《数学情报员》（Mathematical Intelligencer）是这么评价曼德博的理论的：“简而言之，这就是现代版的皇帝的新衣。”
但有些变化是无法阻挡的。上世纪90年代，波士顿的一个电波天文学家内森·科恩（Nathan Cohen）希望能够增强自己住所的电波强度，但是碍于房东的限制而无法使用大型接收天线。在听完曼德博的一次演讲之后，这哥们儿回家用金属线拗出一个科赫曲线。就像电影里演的一样，信号在一瞬间增强了。不仅电波强度有所提升，这哥们儿还发现用这个天线能够收到更广范围的信号。
而当科恩捣鼓天线的那段日子，全世界的通讯电子似乎也走到了一个瓶颈处。Wi-fi、蓝牙、通话电波，这些信号都自成体系，有着完全不同的波段。而当时的手机厂商们正迫切得想把这些信号对应的接收器整合到手机上，但是如果按照老办法，手机上就会长出各式各样长短不一的天线用来接收不同的信号——但是谁会把一个海胆揣在裤兜里呢？
然而，基于分形理论的分形接收器则完美地整合了所有信号的接收机制，质疑者们也逐渐不敢说话了。
我们的手机至今仍在使用分形信号接收器
顺带一提，即使是在2005年的电影《星球大战前传3：西斯的复仇》中，人们依然在想着法地利用分形理论。为了制造出岩浆落在巨大的机械臂上的场景，特效师将动态技术结合到了基于分形理论建立的岩浆模型上，再通过数百次的重复计算和效果积累，我们才能看到主角Luke从岩浆中狂奔而来的场景。
正如上文所提及的，无限次的重复和积累最后催生出了一个数学界的怪物，套用一句陈词则是“量变引起质变”。游戏中，通过重复打怪积累经验值可以实现等级的提升；生活里，通过重复消费积累得到的积分可以换取一杯醇厚的咖啡；工作上，通过日复一日的伏案打字所积累的工作能力，可以让自己持续成长。当然，还有我们不得不提到的个人财务——一切资产都会在一次又一次的重复积累后，最终形成可观的财富。京东金融和我们一样，既是无数次重复积累的产物，同时也关注着坚持积累和相信重复的所有人。无论是理财、众筹还是白条——京东金融都会帮助每一个认真积累的普通人，实现生活梦想。
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