两千多年来，古希腊人创立的几何学，一直是人们认识自然物体形状的有力工具。经典几何学所描绘的都是由直线或曲线、平面或曲面、平直体或曲体所构成的各种几何形状，它们是现实世界中物体形状的高度抽象。天文学家们用这种几何知识构造了多种宇宙理论，建筑师们利用它设计出大量宏伟的建筑；以致于近代物理学的奠基者、伟大的科学家伽利略极其权威地断言：大自然的语言是数学，“它的标志是三角形、圆和其他几何图形”。
然而事实上，传统几何学的功能并不是那么大的，它所描述的只是那些具有光滑性即可微性（可切性），至少是分段分片光滑的规则形体。这类形体在自然界里只占极少数。自然界里普遍存在的几何形体大多数是不规则的、不光滑的、不可微的，甚至是不连续的。如蜿蜒起伏的山脉，曲折凸凹的海岸线，坑坑洼洼的地面，枝干纵横的树枝，团块交叠的浮云，孔穴交错的蛋糕……真是奇形怪状，千姿百态。这些形状和经典几何学所描述的形状，真是大相径庭。对于了解自然界的复杂性来讲，欧几里得几何学是一种不充分、不具有普遍性的抽象。1975年冬天的一天，正在思索着现实世界真实几何形象问题的法国数学家曼德尔布罗特(Mandelbrot，B.B.)随手翻阅他儿子的字典，注意到了拉丁字“fractus”，这个来自动词frangere的形容词含有破裂之意。他由此创立了“分形”(fractal)这个概念，并由此创立了“分形几何理论”，从而把数学研究扩展到了传统几何学无法涉足的那些“病态曲线”和“几何学怪物”的领域。曼德尔布罗特说：“云朵不是球，山峦不是锥，海岸线不是圆，树皮不光滑，闪电也不走直线。”分形几何学所映射出的自然事物不是光滑无瑕、平坦规整的，而是凸凹不平、粗糙丛杂、扭曲断裂、纠结环绕的几何形体。
自然界的现象通常都发生在某种特征标度上，如特征长度、特征时间等特征尺度上。科学家关于事物特征的描述最基本的莫过于问它有多大，持续多久。这都是依赖于标度（尺度）的一些基本性质。每种事物都有其特征尺度，例如天体物理学家描写的宇宙结构，大约在数百万光年的范围上；生物学家认识的微生物的结构大约有微米的长度；物理学家研究的夸克，约在10-13厘米的数量级上。每一个具体事物，都与特定的尺度相连系。几厘米长的昆虫与几米、十几米大小的巨兽在形态、结构上必然极不相同，否则它们就无法生存和繁衍。《楚辞·卜居》中说：“夫尺有所短，寸有所长”。这也是说事物都有其自己的特征尺度，要用适宜的尺去测度。用寸来量度细菌，用尺来量度万里长城，前者失之过长，后者又嫌太短。所以，标度是十分重要的。试图对自然现象做定量描写时，就必须从特征尺度入手。一个好的理论模型，往往要涉及三个层次：首先是由特征尺度确定的基本层次；更大尺度的环境就用“平均场”和决定外力的“位势”等描写；更小尺度上的相互作用，则以“摩擦系数”、“扩散系数”等得自于实验的“常数”来表征。如果要从理论上对这些系数做出阐明和推算，那就必须从物质运动的更深入细微的层次上进行探讨。
但是，分形几何学却否定了关于事物大小和久暂的区分的绝对标度性，指出对于大自然的某些现象，去寻求特征尺度是毫无意义的。曼德尔布罗特研究过电子通讯中的噪音，研究过河水泛滥的数据，还研究过棉花价格的涨落。通过这些研究，他开始形成实际的图象。在他的关于现实的图象里竟然没有二分法的位置，无法把微小的变化与宏大的变化分离开来，而是把它们紧紧地联系在一起。他所寻找的图象，无所谓小尺度和大尺度的差异，而是超越一切尺度；它不是左和右的对称、上和下的对称，而是大尺度与小尺度之间的对称。曼德尔布罗特把1900年以来棉花价格的数据通过计算机处理，确实找到了他所追求的惊人的结果。那些从正态的误差分布观点看来产生偏离的数，从尺度观点看却发现了对称。每一天的价格变化曲线与每一个月的价格变化曲线完全匹配。虽然其间经历了两次世界大战和一次经济大萧条，但在60年的周期里，竟然有价格的变异度不变的基本规律。在极为无序的大量数据的内部，竟然存在着如此出人预料的序，完全具有任意性的数据竟然被一条规律所支配，这个尺度问题看来具有自己的生命。这使曼德尔布罗特从对实际现象的研究转向探索尺度现象。
曼德尔布罗特关于大自然过程里不规整花样的研究以及他关于无穷复杂形象的探索最终汇流到一个交结点上，这就是自然事物的“自相似”这个特性。“大自然在所有标度上同时起作用”。自然界的许多事物在其内部的各个层次上都具有自相似的结构，在一个花样内部还有更小的同样的花样。自相似物体不具有特征标度，它是跨越尺度的对称性；它在不同测量尺度上看去差不多一样，是一种“无穷嵌套的自相似结构”。“分形”就意味着“自相似”。一个几何图形，如果它的组成部分与图形整体之间有某种相似性，就称为“分形”。“自相似”的思想在人类文化的各个方面都有所反映。中国古代就有“袖里有乾坤，壶中有日月”和“一尘一世界”的说法。曼德尔布罗特曾引颂《格列佛游记》的作者J.斯韦夫特(J.Swift1667～1745)的一首打油诗：“博物学家看仔细，大蚤身上小蚤栖；更有微蚤叮小蚤，递相啮噬无尽期。”德国哲人莱布尼兹(G.W.F.VonLeibniz1646～1716)也曾设想，在一滴水里包含着多姿多彩的世界，其中又有许多滴水，每滴水又各有新的世界。
海岸线就是天然存在的一个分形。曼德尔布罗特在一篇题为《英国的海岸线有多长》①的文章里做出这样的结论：任何海岸线，在某种意义上都是无限长的；在另一种意义上说则决定于你所选用的尺的长度。因为在不同标度上描绘的海岸线图，都显示出相似的湾、岬分布。每一个大湾中都有小湾和小岬，那些小湾和小岬中又有更小的湾和岬；把这些湾和岬放大后和实际的海岸线仍然相似。正如曼德尔布罗特所说：“当你初次在一张比例尺为十万分之一的地图看到的一个海湾或半岛重新在一张比例尺为一万分之一的地图上被观察时，无数更小的海湾和更小的半岛就变得清晰可见了。在一张比例尺为一千分之一的地图上，更小更小的海湾和更小更小的半岛又出现了。”所以，你如果用一米的尺沿海岸测量，可以得出一个近似的长度，因为实际上你已经把小于一米的曲曲弯弯部分忽略掉了。如果改用一厘米的尺去量，一些小的曲折将被计入，得到的海岸线将会增长。随着测度标尺的变小，海岸线的长度会不断加长，永远不会收敛于一个极限数值。其根本原因就在于海岸线是一个无穷嵌套的自相似结构。
分形不仅在所有的标度上都有结构，而且在所有标度上都有相同的结构。1904年，瑞典数学家科赫(Koch，Helge Von 1870～1924)构造的“雪花曲线”，严格地显示了分形这种有趣的特征。设想给出一个正三角形，再不断进行如下变换：在每边正中的1/3边上再造一个凸出来的正三角形，使原三角形变成六角形；在这个六角形的12条边的每条边中间的1/3上再凸出一个正三角形，变成一个4×12=48边形；反复操作这种变换以至无穷（图11），其边缘愈来愈增添精细结构，得到一个由分形曲线（“科赫曲线”）围成的科赫岛，好似一个雪花。科赫曲线是一条连续的环，绝不自身相交；每次变换都会使“科赫岛”的面积稍有增加，但总面积永远是有限的，并不比原三角形的面积大很多（小于原三角形的外接圆）；但科赫曲线的总和却是无穷长的。这似乎是一个矛盾的结果：岛的面积有限，但周长无穷大；或者说一条无限长又绝不自交的曲线包围成了一个有限的面积。
数学家们还构造了许多类似的一维的、二维的和三维的分形结构。如“康托尔灰尘”（图12）；在一条线段上去掉中间的1/3；然后对所余二段各去掉其中间的1/3；反复操作下去，剩下的即康托尔集合。它是一些点非点、线非线的东西，数量为无穷多，但总长度为零。另如“塞尔平斯基地毯”（图13甲）和它的三维类似“孟格尔海绵”（图13乙）。前者总面积为零而孔线长度无穷大；后者总体积为零而总的表面积无穷大。在当时许多数学家的头脑里，认为这些曲线或形状是“病态的”，似乎大自然不应如此。但曼德尔布罗特却由这些一层比一层精细的相似结构中，窥视到了宇宙的秘密。
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