1975年,著名科学家曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)发表了划时代的专著《分形:形态,机遇和维数》,这标志着分形几何学的诞生,该书于1982年再版时易名为《大自然的分形几何学》。
分形几何学起先是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的,由此发展起来的分形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支,在众多学科领域里有着广泛的应用。分形一词即由曼氏于1975年创立。它的研究对象是不光滑的、不规则的,甚至支离破碎的空间几何形态。比如分形的典型例子,科赫曲线(Koch
Curve)便是以初等数学方法构造的一类处处不可导的连续曲线。
取长度为1的直线段,称为初始元(initiator),将该线段的中间1/3用一个隆起的等边三角形的另两边替代,得到一条由四个等长直线段构成的折线,称为生成元(generator)。再将生成元的四个直线段中的每一个,都用一个缩小为1/3的生成元来替代,从而形成一条有次级隆起的折线。继续这一操作,以至无穷,得到科赫曲线。显然,每条线的“内部”结构与整体相似(曼德布罗特,1998)。
将一个等边三角形的每条边按上述过程构造,便得到首尾相连的科赫雪花曲线。可以证明,由雪花曲线围成的面积小于该等边三角形外接圆的面积,且趋于一个极限值,而围成这个有限面积的边界曲线却是无限长。这明显不同于以往的周长与面积概念,这是一个吊诡现象(paradox)。诸如此类的分形实例还有许多,又如图2:
谢尔宾斯基地毯(Sierpinski
carpet),初始元是一个正方形,生成元是镂空的正方形,相继如图操作,最终该地毯的面积为0,孔的周界长度无限。
分形的定义
曼德布罗特曾给出分形的定义:分形是局部与整体在某种意义下存在相似性的形状。这强调了分形的自相似性,但把某些分形排除在外。
后来,英国数学家法尔科内(Falconer,1991;1999)提出罗列分形集的性质,来给分形下定义。如果集合F具有下面所有的或大部分的性质,它就是分形:
1 F具有精细的结构,即有任意小尺度的不规则的细节;
2 F具有如此的不规则,以致于它的局部或整体都不能用微积分的或传统的几何语言来描述;
3 通常F具有某种自相似或自仿射性质,这可以是统计意义上的;
4 F的“分形维数”(用某种方式定义的)通常严格大于它的拓扑维数;
5 在许多有趣的情况下,F具有非常简单的、可能是由迭代给出的定义;
6 通常F具有“自然”的外貌。
有必要明确,分形的不规则性并非无序,而是存在层次结构(hierarchical
organization)按一系列尺度(scales)在几何形态上自身重复,即这种不规则的形态在层层尺度上是相似的,从而可称之为自相似性(self-similarity)或标度不变性(scale-invariance)。
顺便说明,自相似即是自身进行相似变换,也称尺度变换或标度变换(scale
transformation),属于线性变换。这样的分形,包括自相似分形,统称为标度分形(scaling
fractal),本文所讨论的分形均在此范围内。若是非线性变换,则称为非标度分形(non-scaling
fractal)(曼德布罗特,1998)。此外,在物理学中两个变量之间只要满足标度关系就被称为标度行为,因而标度分形具有标度行为,其分形维数可称为标度指数(scaling
exponent)。
自然界当中,闪电、树枝、花菜、海岸线和海螺纹,其形态就具有分形特征。当然,这些现实中的自然形态只是在一定尺度范围内符合分形特征。而分形是数学上的几何抽象,具备无穷小尺度的层次结构。这正如欧氏几何的直线和平面是数学抽象,在现实中是找不到的。
1975年,著名科学家曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)发表了划时代的专著《分形:形态,机遇和维数》,这标志着分形几何学的诞生,该书于1982年再版时易名为《大自然的分形几何学》。
分形几何学起先是相对于传统欧氏几何学的不足而建立的,由此发展起来的分形理论是现代非线性科学研究中的一门新兴数学分支,在众多学科领域里有着广泛的应用。分形一词即由曼氏于1975年创立。它的研究对象是不光滑的、不规则的,甚至支离破碎的空间几何形态。比如分形的典型例子,科赫曲线(Koch
Curve)便是以初等数学方法构造的一类处处不可导的连续曲线。
取长度为1的直线段,称为初始元(initiator),将该线段的中间1/3用一个隆起的等边三角形的另两边替代,得到一条由四个等长直线段构成的折线,称为生成元(generator)。再将生成元的四个直线段中的每一个,都用一个缩小为1/3的生成元来替代,从而形成一条有次级隆起的折线。继续这一操作,以至无穷,得到科赫曲线。显然,每条线的“内部”结构与整体相似(曼德布罗特,1998)。
将一个等边三角形的每条边按上述过程构造,便得到首尾相连的科赫雪花曲线。可以证明,由雪花曲线围成的面积小于该等边三角形外接圆的面积,且趋于一个极限值,而围成这个有限面积的边界曲线却是无限长。这明显不同于以往的周长与面积概念,这是一个吊诡现象(paradox)。诸如此类的分形实例还有许多,又如图2:
谢尔宾斯基地毯(Sierpinski
carpet),初始元是一个正方形,生成元是镂空的正方形,相继如图操作,最终该地毯的面积为0,孔的周界长度无限。
分形的定义
曼德布罗特曾给出分形的定义:分形是局部与整体在某种意义下存在相似性的形状。这强调了分形的自相似性,但把某些分形排除在外。
后来,英国数学家法尔科内(Falconer,1991;1999)提出罗列分形集的性质,来给分形下定义。如果集合F具有下面所有的或大部分的性质,它就是分形:
1 F具有精细的结构,即有任意小尺度的不规则的细节;
2 F具有如此的不规则,以致于它的局部或整体都不能用微积分的或传统的几何语言来描述;
3 通常F具有某种自相似或自仿射性质,这可以是统计意义上的;
4 F的“分形维数”(用某种方式定义的)通常严格大于它的拓扑维数;
5 在许多有趣的情况下,F具有非常简单的、可能是由迭代给出的定义;
6 通常F具有“自然”的外貌。
有必要明确,分形的不规则性并非无序,而是存在层次结构(hierarchical
organization)按一系列尺度(scales)在几何形态上自身重复,即这种不规则的形态在层层尺度上是相似的,从而可称之为自相似性(self-similarity)或标度不变性(scale-invariance)。
顺便说明,自相似即是自身进行相似变换,也称尺度变换或标度变换(scale
transformation),属于线性变换。这样的分形,包括自相似分形,统称为标度分形(scaling
fractal),本文所讨论的分形均在此范围内。若是非线性变换,则称为非标度分形(non-scaling
fractal)(曼德布罗特,1998)。此外,在物理学中两个变量之间只要满足标度关系就被称为标度行为,因而标度分形具有标度行为,其分形维数可称为标度指数(scaling
exponent)。
自然界当中,闪电、树枝、花菜、海岸线和海螺纹,其形态就具有分形特征。当然,这些现实中的自然形态只是在一定尺度范围内符合分形特征。而分形是数学上的几何抽象,具备无穷小尺度的层次结构。这正如欧氏几何的直线和平面是数学抽象,在现实中是找不到的。
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