除法运算性质

在我们能够熟练准确地掌握了除数是两位数的除法后，我们应该自己运动脑筋，找出一些简便的计算方法，提高计算能力．

1．乘、除同级运算带着运算符号搬家，结果不变．

当遇到无括号的乘除混合或连除的运算算式时，改变运算顺序，结果不变．

例1．计算63×15÷7＝？

解：63×15÷7简算：63×15÷7

＝945÷7＝63÷7×15

＝135 ＝9×15

＝135

所以，63×15÷7＝63÷7×15

例2．125÷25×8简算：125÷25×8

＝5×8＝125×8÷25

＝40＝1000÷25

＝40

所以，125÷25×8＝125×8÷25．

例3．计算288÷9÷4＝？

解：288÷9÷4简算：288÷9÷4

＝32÷4＝288÷4÷9

＝8＝72÷9

 ＝8

所以，288÷9÷4＝288÷4÷9．

像这样在乘除的同级运算中，带着运算符号搬家，改变运算顺序，其结果不变．这样，使一些需要用竖式计算结果，或者计算比较麻烦的计算题，可以转化成用口算就能直接计算出结果的算题，提高了计算速度，这是由除法的运算性质所决定的，这个性质也适用于含有三个以上的数的算式．

如：30×45÷15×7＝30÷15×45×7或者，30×45÷15×7＝30×（4÷15）×7．

这是除法的另一个性质，下面我们还要继续阐述．

在用除法运算性质1进行计算时，要注意整除的条件，就是使所得的算式中的被除数能够除尽．例如：40×9÷18×7，可以改变成  40×9×7÷18，而不能变成  40÷18×9×7，因为40不能被18整除．

除法运算性质1用字母表示：a×b÷c＝a÷c×b（a能被c整除）

a÷b÷c＝a÷c÷b（a能被b、c整除）

2．去掉括号，改变运算顺序，结果不变．

（1）在乘号后面去括号，通过计算下组题，我们能发现什么？

① 12×（8÷2）125×8÷2

＝125×4＝1000÷2

＝500 ＝500

所以，125×（8÷2）＝125×8÷2．

② 18×（6÷3）  18÷3×6

＝18×2＝6×6

＝36 ＝36

所以， 18×（ 6÷3）＝18÷3×6．

通过观察比较等式左右两边可见，在乘号的后面去掉了括号，改变了运算的顺序，结果不变．同时也发现了，在乘号的后面去掉了括号，括号里的运算符号没有变．所以，我们可以根据左右的关系归纳为：一个数乘以两个数的商，等于这个数乘以商中的被除数，再除以商中的除数．这条性质也可以简称为“数乘以商的性质”．用字母表示：a×（b÷c）＝a×b÷c＝a÷c×b．

（2）在除号后面去括号，会有什么情况呢？

计算下列各题，从中能发现有什么变化，能得到什么启示呢？

①一个数除以两个数的积．

84÷（7×3）84÷7÷3

＝84÷21＝12÷3

＝4 ＝4

所以，84÷（7×3）＝84÷ 7÷3．

275÷（5×11）275÷5÷11

＝275÷55＝55÷11

＝5＝5

所以， 275÷（5×11）＝275÷5÷11．

【分析】在除号后面去掉括号，除了改变了运算顺序之外，括号里的乘号，在去掉括号后改变成了除号．为便于记忆，我们可以说：“除号后面去括号，括号里面要变号．”

归纳：一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数．这条性质可以简称为“数除以积的性质”．用字母表示： a÷（b×c）＝a÷b÷c

这条性质也可以推广为：一个数除以几个数的积或几个数的积除以几个数的积的情形．

例如：①1995÷（3×5×7）＝1995÷3÷5÷7

②（24×21×45）÷（15×4×7）

＝24×21×45÷15÷4÷7

＝24÷4×（21÷7）×（45÷15）

用字母表示：a÷（b×c×d）＝a÷b÷c÷d；反过来，a÷b÷c÷d＝a÷（b×c×d），，也就是说：在除号的后面添上括号，括号里面要变号．还可以说一个数或积，除以几个数的积，等于这个数或积依次除以积里的每个因数．

③一个数除以两个数的商．

例如： 72÷（ 9÷3）        72÷9×3

＝72÷3＝8×3

＝24 ＝24

72×3÷9

＝216÷9

＝24

所以，72÷（9÷3）＝72÷9×3＝72×3÷9

2400 ÷（100÷4）2400÷100×4

＝2400÷25＝24×4

＝96＝96

所以，2400÷（100÷）＝2400÷100×4

【分析】观察两边的变化又一次地证明了在除号的后面去括号，括号中的除号要变乘号．

一个数除以两个数的商，等于这个数先除以商里的被除数，再乘以商中的除数．或者这个数先乘以商中的除数，再除以商中的被除数．这条性质也可以简称为“数除以商的性质”．

用字母表所：a÷（b÷c）＝a÷b×c（a能被b整除）

a÷（b÷c）＝a×c÷b（a能被b整除）

无论是一个数除以积还是一个数除以商，当在括号后面去掉括号时，括号里的乘号变除号，或者括号里的除号变乘号，它们计算的结果与原式相同．