初中数学 | 圆

圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.

1.圆的对称性:

(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.

(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.

2.垂径定理:

垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.

3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系

(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.

(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.

(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.

在⊙ O中，若⊙ O的半径r、圆心到弦的距离d、弦长a中，任意知道两个量，可根据垂径定理求出第三个量：

关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。

圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。

圆周角

定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.

性质:

(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

(2)在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.

(3)半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90⁰(直角).

(4)90⁰的圆周角所对的弦是圆的直径.

1.点和圆的位置关系

(1)点在圆内   (2)点在圆上  (3)点在圆外

切线的识别方法

1.与圆有一个公共点的直线。

2.圆心到直线的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

3.经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质:

(1)圆的切线垂直于经过切点的半径.

(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.

(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线. 

 解析：过D点作DF 垂直AC于F点，然后证明DF等于圆D的半径BD

三角形的外接圆与内切圆:

三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.

三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.

不在同一直线上的三点确定一个圆.

特别的:

等边三角形的外心与内心重合.

内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.

二、过三点的圆及外接圆

1.过一点的圆有_无数_个

2.过两点的圆有无数个，这些圆的圆心的都在连接两点的线段的垂直平分线上.

3.过三点的圆有__0或1_个

4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村庄距离相等）

5.锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心在三角形在斜边的中点上

，钝角三角形的外心在三角形_外__。

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。