机械行业竞争日趋激烈，产品高端化趋势和全球工业革命的推动下，数字化转型已成为企业的必然选择。利用数字化仿真技术，实现全价值链数字化仿真分析优化，提前发现问题，事后量化分析改善，实现产品开发效率和可靠性全面提升。
小编是从结构设计转向CAE仿真，深知对于非力学专业出身的工作者学习CAE仿真的难度，不仅在于软件层面操作，更在于对理论基础的学习和理解。刚从事CAE时，小编当时就很疑惑，为什么需要画网格、网格节点编号物理意义是什么、网格质量为什么着重关注雅克比、单元积分点指的是什么…。由此，小编想结合自身的工作学习体会，与大家一起分享有限元仿真，讲好每一课，一起感受CAE的魅力。
在弹性力学分析中，需要通过静力分析、几何分析和物理分析建立描述物体变形状态和应力状态基本方程，将力学问题转化为偏微分方程的边值问题。针对三个方面建立的方程就是弹性力学中的三大基本方程：平衡方程、几何方程和物理方程。
平衡方程是描述应力分量和体力分量之间的微分关系方程。如图1-1是在直角坐标系下微元体应力分布。平面AMBD的正应力，通过泰勒展开，可得到平面ECGF的正应力变为
，类似可得到所有面的正应力和切应力。
图1-1 微元体应力分布图
根据微元体各力对x、y、z合力矩为0，可得切应力互等定理：
切应力互等定理
根据微元体上各力沿x轴合力为0的平衡条件可得：
其中为微元体x方向的体力分量，将方程两端同时除以dxdydz并进行整理可得：
同理根据微元体y和z方向平衡条件亦可得对应方程。平衡方程如下式:
平衡方程
将平衡方程用矩阵表示为：
平衡方程矩阵表达
其中为A微分算子矩阵，σ为应力列阵，b为体力列阵：
弹性力学中几何方程是描述应变分量和位移分量间的微分关系方程。如图1-2为微元体二维应变图。
图1-2 微元体二维应变图
假设P坐标(x,y)，PA=dx,PB=dy,P'相对P在x方向移动u, 在y方向移动v，则A'相对A在x方向移动距离通过泰勒展开得，同理可得A'在y方向移动距离和B'在x、y方向移动距离。
变形后P'A'长度为:
于是可得正应变为:
同理可得其它应变方程。几何方程如下式：
几何方程
几何方程可用矩阵描述：
其中为ε应变列阵，u为位移列阵，L为微分算子矩阵：
弹性力学中物理方程是描述应力分量和应变分量的关系方程。若材料为各项同性，根据材料力学中广义胡克定律可得：
广义胡克定律
其中E、、G分别为弹性模量、泊松比和剪切模量，三者之间关系：
将上式用应变表示应力的形式为：
其中
用拉梅常数形式表示为：
其中
弹性体的物理方程可用矩阵形式进行描述：
其中为ε应变列阵，σ为应力列阵，S为柔度矩阵，D为刚度矩阵。
求解弹性力学问题，除了基本方程外还需要定义边界条件。在弹性体的边界上，已知外力称为应力边界条件；已知位移，称为位移边界条件。如图2-1为不同方向截面应力关系。
图2-1 不同方向截面应力图
由x方向平衡条件可得：
其中、、为截面法向量的方向余弦。同理可得另外两个方程。则应力边界条件：
用矩阵表示为：
其中为σ应力矩阵，也称为应力张量；n称为方向余弦矩阵；P为已知面力矩阵。
位移边界条件表示为：
表示为矩阵形式：
其中为已知位移列阵：
最小势能原理：在所有变形可能的位移场中，真实的位移场使总势能泛函取最小值。根据最小势能原理，真实位移场使得弹性体势能泛函的变分为零，即：
其中为总势能。满足最小势能原理的解一定满足平衡方程及应力边界条件。
弹性体总势能为应变势能Vε与外力势能Vp之和:
如图为弹性体单向应力状态下应力和应变关系图：
单向应力状态下应变能密度：
将其扩展到一般情况上，总应变能：
其中为σ应力列阵，ε为应变列阵。
弹性体外力势能：
其中b为体力列阵，S为面力列阵。
根据物理方程可知应力分量可以用应变分量表示，根据几何方程可知应变分量可以用位移分量表示，因此应力分量也可以用位移分量表示，则弹性体总势能可以表示为自变量为位移函数的函数。根据最小势能原理，弹性问题转为求势能泛函极值问题。
设有长度的简支梁，受均布载荷q作用下，利用最小势能原理求简支梁的挠度方程。
根据边界条件可假设近似解为：
根据应变势能公式可得梁的应变势能：
由材料力学可知：
将(c)式代入(b)式，梁的应变势能可进一步表示：
由惯性矩公式可知：
将(e)式代入(d)式梁的应变势能:
梁的外力势能：
总势能：
根据最小势能原理，得到：
根据上式求出和，再带回方程(a)中：
课后问题：
根据梁的边界条件，假设挠曲线方程近似解如公式(k)，结果又是如何呢？
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