向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
天津四中：刘晖
一、四心的概念介绍
（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1；
（2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合
（1）OA?OB?OC?0?O是?ABC的重心.
证法1：设O(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)
x1?x2?x3?x???(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?3
OA?OB?OC?0????
(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0?y?y1?y2?y3
3?
O是?ABC的重心.
证法2：如图
OA?OB?OC ?OA?2OD?0
AO?2OD
A、O、D三点共线，且O分AD
为2：1
O是?ABC的重心
BDC
（2）OA?OB?OB?OC?OC?OA?O为?ABC的垂心.
证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足. OA?OB?OB?OC?OB(OA?OC)?OB?CA?0
OB?AC
同理OA?BC，OC?AB
O为?ABC的垂心
B
D
C
（3）设a,b,c是三角形的三条边长，O是?ABC的内心
aOA?bOB?cOC?0?O为?ABC的内心.
证明：?
ABACb
AC
AC方向上的单位向量， 分别为AB、
cb
ABc
平分?BAC, ABc?ACb
AO??()，令??
bca?b?c
AO?
bca?b?c
（
ABc
ACb
)
化简得(a?b?c)OA?bAB?cAC?0
aOA?bOB?cOC?0
（4
）???O为?ABC的外心。
典型例题：
例1：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP?OA??(AB?AC)，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：如图所示?ABC，D、E分别为边BC、AC的
中点.
AB?AC?2AD
OP?OA?2?AD ?OP?OA?AP ?AP?2?AD
B
D
C
AP//AD
点P的轨迹一定通过?ABC的重心，即选C.
例2：（03全国理4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P
满足OP?OA???，则点P的轨迹一定通过?ABC的（ B ） ???0,??? ，
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：?
AC方向上的单位向量，
AB、
平分?BAC,
点P的轨迹一定通过?ABC的内心，即选B.
例3：O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满
足OP?OA???
，???0,??? ，则点P的轨迹一定通过?ABC的
（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
分析：如图所示AD垂直BC，BE垂直AC， D、E是垂足
. AB?
AC?
BC
=
C
=
=?
+=0
点P的轨迹一定通过?ABC的垂心，即选D.
练习：
1．已知?ABC三个顶点A、B、C及平面内一点P，满足PA?PB?PC?0，若实数?满足：AB?AC??AP，则?的值为（ ）
A．2 B．
32
C．3 D．6
2．若?ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，OA?OB?OC?0，则OA?OB?( ) A．
12
B．0 C．1 D．?
12
3．点O在?ABC内部且满足OA?2OB?2OC?0，则?ABC面积与凹四边形
ABOC面积之比是（ ）
32
54
43
A．0 B． C． D．
4．?ABC的外接圆的圆心为O，若OH?OA?OB?OC，则H是?ABC的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
5．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，若OA?CA
2
2
BC
2
OB
2
OC
2
AB，则O是?ABC的（ ）
2
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
ABC的外接圆的圆心为O，6．两条边上的高的交点为H，
OH?m(OA?OB?OC)，
则实数m =
→→→→ABACABAC1→→→
7．（06陕西）已知非零向量AB与AC满足( +)·BC=0且· = , 则
→→→→2|AB||AC||AB||AC|△ABC为( )
A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 8．已知?ABC三个顶点A、B、C，若AB
ABC为（ ）
2
AB?AC?AB?CB?BC?CA，则
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．既非等腰又非直角三角形 练习答案：C、D、C、D、D、1、D、C
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