三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1．O是∆ABC的重心⇔
OA+OB+OC=0;
S∆BOC=S∆AOC=S∆AOB=
1
S∆ABC3故
若O是∆ABC的重心，则
PG=(PA+PB+PC)
2．O是∆ABC的垂心⇔
++=;
⇔G为∆ABC的重心.
OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA;
=tanA：tanB：tanC
若O是∆ABC(非直角三角形)的垂心，则S∆BOC：S∆AOC：S∆AOB
故tanA+tanB+tanC=
2
2
2
3．O是∆ABC的外心⇔|OA|=|OB|=|OC|(或==若O是∆ABC的外心则
)
S∆BOC：S∆AOC：S∆AOB=sin∠BOC：sin∠AOC：sin∠AOB=sin2A:sin2B:sin2C
=0
=⋅=⋅=0
故sin2AOA+sin2BOB+sin2COC2 2 2 2
4．O
是内心∆ABC的充要条件是
⋅
引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记,,的单位向量为e1,e2,e3，则刚才O是∆ABC内心的充要条件
是∆ABC内心的充要条件也可以是
可以写成
⋅(e1+e3)=⋅(e1+e2)=⋅(e2+e3)=0 ，O
aOA+bOB+cOC=0 。若O是∆ABC的内心，则S∆BOC：S∆AOC：S∆AOB=a：b：c
故
aOA+bOB+cOC=0或sinAOA+sinBOB+sinCOC=0;
|AB|PC+|BC|PA+|CA|PB=0⇔P是∆ABC的内心;
+)(λ≠0)所在直线过∆ABC的内心(是∠BAC的角平分线所在直向量λ(|AB||AC|
线)；
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例
1．O是平面上的一定点，
A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPP点的轨迹一定通过∆ABC的（ ）
（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心
=OA+λ+
，λ∈[0,+∞)则
AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2， 又-=，则原
式可化为
=λ(e1+e2)，由菱形的基本性质知AP平分∠BAC，那么在∆ABC
中
AP平分∠BAC，则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2． H是△ABC所在平面内任一点，HA⋅HB=HB⋅HC=HC⋅HA⇔点H是△ABC的垂心. 由HA⋅HB=HB⋅HC⇔HB⋅(HC-HA)=0⇔HB⋅AC=0⇔HB⊥AC, 同理⊥，HA⊥BC.故H是△ABC的垂心. （反之亦然（证略）） 例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点，若⋅A．外心 解析:由PA⋅PB则PB
B．内心
=⋅=⋅，则P是△ABC的（D
C．重心
D．垂心
）
=PB⋅PC得PA⋅PB-PB⋅PC=0.即PB⋅(PA-PC)=0,即PB⋅CA=0
⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥AB 所以P为∆ABC的垂心. 故选D.
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4． G是△ABC所在平面内一点，GA+GB+GC=0⇔点G是△ABC的重心. 证明 作图如右，图中GB+GC=GE
连结BE和CE，则CE=GB，BE=GC⇔BGCE为平行四边形⇒D是BC的中点，AD为BC边上的中线. 将GB+GC=GE代入GA+GB+GC=0，
得GA+EG=0⇒GA=-GE=-2GD，故G是△ABC的重心.（反之亦然（证略）） 例5． P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心⇔PG=
1
(PA+PB+PC). 3
证明 PG=PA+AG=PB+BG=PC+CG⇒3PG=(AG+BG+CG)+(PA+PB+PC) ∵G是△ABC的重心 ∴++=0⇒++=0，即3=++ 由此可得=
1
） (++).（反之亦然（证略）
3
例6 若O 为∆ABC内一点，OA+OB+OC=0 ，则O 是∆ABC 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由OA+OB+OC=0得OB+OC=-OA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OB+OC=OD，由
1
平行四边形性质知OE=OD，OA=2OE
2
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。
例7若O 为∆ABC内一点，OA=OB=OC
，则O 是∆ABC 的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
解析：由向量模的定义知O到∆ABC的三顶点距离相等。故O 是∆ABC 的外心 ，选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8．已知向量OP1，OP2，OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1， 求证 △P1P2P3是正三角形.（《数学》第一册（下），复习参考题五B组第6题） 证明 由已知1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=- 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=-
1
， 2
1， 2
∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形.
反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|. 即O是△ABC所在平面内一点，
OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|⇔点O是正△P1P2P3的中心.
例9．在△ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且QG:GH=1:2。
【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
x1x+x2y2xyx,0)、E(1,、F(2,2 由题设可设Q（1,y3)、H(x2,y4), 222222
xx1+x2y2xyG(,∴AH=(x2,y4)，QF=(2-1,2-y3)
33222
BC=(x2-x1,y2) AH⊥BC
∴AH∙BC=x2(x2-x1)+y2y4=0 Dx2(x2-x1)
y2
QF⊥AC xxy
∴QF∙AC=x2(2-1)+y2(2-y3)=0
222
x(x-x1)y2
∴y3=22+
2y22∴y4=-
x2x-x13x2(x2-x1)y2
∴QH=(x2-1,y4-y3)=（2,--
222y22
x+xxy2x-x1y2x2(x2-x1)y21
∴QG=(2-1,2-y3)=（2,--323632y222x2-x13x2(x2-x1)y212x-x13x2(x2-x1)y2
,--)=(2,-- 66y26322y22 1
=3 =(
即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：GH=1：2
例10．若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 OH=OA+OB+OC. 证明 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图. 连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴AD⊥AB，CD⊥BC.又垂心为H，AH⊥BC，CH⊥AB， ∴AH∥CD，CH∥AD， ∴四边形AHCD为平行四边形，
∴AH=DC=DO+OC，故OH=OA+AH=OA+OB+OC.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
例11． 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 =证明 按重心定理 G是△ABC的重心⇔OG=
1
3
1
(OA+OB+OC) 3
1
OH. 3
按垂心定理 OH=OA+OB+OC 由此可得 OG=
补充练习
1．已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足
=
111
(++2),则点P一定为三角形ABC的 （ B ）
322
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心） C.重心 D.AB边的中点 1. B取AB边的中点M，则+=2，由 =
222222
2．在同一个平面上有∆ABC及一点Ｏ满足关系式： OA＋BC＝OB＋CA＝OC＋AB，则Ｏ为∆ABC
3
的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：（ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
3．已知O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
∴=2，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.
111
( ++2)可得3=3+2，322
PA+PB+PC=0，则
P为
∆ABC
的
=+λ(+)，则P的轨迹一定通过△ABC的 （ C ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4．已知△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且动点P满足：
PA∙PC+PA∙PB+PB∙PC=0，则P点为三角形的 （ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
5．已知△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 6．在三角形ABC中，动点P满足：（ B ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
→→→→ABACABAC1→→→
7.已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0且· = , 则△ABC为( )
→→→→2|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
满足：a⋅PA+b⋅PB+c∙PC=0，则
P点为三角形的
=-2∙22
，则P点轨迹一定通过△ABC的：
ABAC+)·解析：非零向量与满足(=0，即角A的平分线垂直于BC，∴ AB=AC，又cosA=|AB||AC|
所以△ABC为等边三角形，选D．
8.∆ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，9.点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足⋅（A）三个内角的角平分线的交点 （C）三条中线的交点
AB|AB|
AC⋅|AC|
π1
=，∠A=，2
3
=m(++)，则实数m = 1
=⋅=⋅，则点O是∆ABC的（B ）
（B）三条边的垂直平分线的交点 （D）三条高的交点
10. 如图1，已知点G是∆ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AM=xAB， 11
AN=yAC，则+=3。
xy
证 点G是∆ABC的重心，知GA+GB+GC=O，
1
得-AG+(AB-AG)+(AC-AG)=O，有AG=(AB+AC)。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），
3
于是存在λ,μ，使得AG=λAM+μAN(且λ+μ=1)， 1 有AG=λxAB+μyAC=(AB+AC)，
3
⎧λ+μ=1
11⎪
得⎨1，于是得+=3。
xyλx=μy=⎪3⎩
→→→1⎡
已知A，B，C是平面上不共线上三点，动点P满足OP=⎢(1-λ)OA+(1-λ)OB+(1+2λ)OC⎤⎥(λ∈R且λ≠0),3⎣⎦
→
则P的轨迹一定通过∆ABC的
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
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