1. （安徽6）设平面?与平面?相交于直线m，直线a在平面?内，直线b在平面?内，且b?m
则“???”是“a?b”的（ ）
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件
(D) 即不充分不必要条件
【解析】选A
①???,b?m?b???b?a ②如果a//m；则a?b与
b?m条件相同
2. （安徽12）某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是_____
【解析】表面积是_____92
该几何体是底面是直角梯形，高为4的直四棱柱 几何体的表面
S?2?
12
(2?5)?4?(2?5?4?
积
是
4?92
3. （安徽18）（本小题满分12分）
ACC图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,B1B?
4，平面图形ABB如111
AB?AC?
A1B1?A1C1?BC和B1C1折叠，使?ABC与?A1B1C1所在平
面都
与平面BB1C1C垂直，再分别连接AA1,BA1,CA1,得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答 下列问题。
。
（Ⅰ）证明：AA1?BC； （Ⅱ）求AA1的长； （Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。
【解析】（I）取BC,B1C1的中点为点O,O1，连接AO,OO1,A1O,A1O1 则AB?AC?AO?BC，面ABC?面BB1C1C?AO?面BB1C1C 同理：A1O1?面BB1C1C 得：AO//A1O1?A,O,A1,O1共面 又OO1?BC,OO1?AO?O?BC?面AOO1A1?AA1?BC （Ⅱ）延长A1O1到D，使O1D?OA 得：O1D//OA?AD//OO1
BC OO，面A1B1C1?面BB1C1C?OO1?面A1B1C1?AD?面A1B1C1 1
AA1
5
（Ⅲ）AO?BC,A1O?BC??AOA1是二面角A?BC?A1的平面角 在Rt?
OO1A1中，A1O?
2
2
2
在Rt?
OAA1中，cos?AOA1?
AO?A1O?AA1
2AO?A1O
5
得：二面角A?BC?
A1的余弦值为?
5
。
4.北京7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）
A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125
【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
S底?10
，S后?10，S右?10，S左?65，因此该几何体表面积
S?S底?S后?S右?S左?30?65，故选B
。
【答案】B
5.北京16．（本小题共14分）
如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如图2. (I)求证：A1C⊥平面BCDE；
(II)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；
(III)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由
解：（1）?CD?DE，A1E?DE
DE?平面A1CD，
又?A1C?平面A1CD，
A1C?DE
又A1C?CD，
A1C?平面BCDE。
（2）如图建系C?xyz，则D??2，0，
0?，A?0，0，，B?0，3，0?，E??2，2，0?
∴A1B?0，3，???????
,A1E???2，?1，0? ?
设平面A1BE法向量为n??x，y，z?
z?y????A1B?n?0?3y??0?2则?????
∴?
∴?
2x?y?0?x??y?A1E?n?0
2
y
∴n???1，2
又∵M??1，0
∴CM???1，0
CM?n
∴cos???
|CM|?|n|
2
C ，
∴CM与平面A1BE所成角的大小45?。
（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为?0，a，0?，则a??0，3?
则A1P?0，a，??????
，DP??2，a，0?
设平面A1DP法向量为n1??x1，y1，z1?
z?1?1??ay1?1?0?6则?
∴?
2x?ay?01??11?x??ay
11??2
，
∴n1???3a，6?
。
假设平面A1DP与平面A1BE垂直，
则n1?n?0，∴3a?12?3a?0，6a??12，a??2，
∵0?a?3，∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直。 6.福建4一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（ ）
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
考点：空间几何体的三视图。
难度：易。
分析：本题考查的知识点为空间几何体的三视图，直接画出即可。
解答：圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；
三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；
正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形； 圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。
7.福建18.（本小题满分13分）
如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?1，E为CD中点。 （Ⅰ）求证：B1E?AD1；
（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP//平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。
（Ⅲ）若二面角A?B1E?A1的大小为300，求AB的长。
考点：立体几何。 难度：中。 分析： 解答：
（Ⅰ）长方体ABCD?A1B1C1D1中，AA1?AD?1
得：AD1?A1D,AD1?A1B1,A1D?A1B1?A1?A1D?面A1B1CD
B1E?面A1B1CD?B1E?AD1
（Ⅱ）取AA1的中点为P，AB1中点为Q，连接PQ 在?AA1B1中，PQ//
面B1AE
此时AP?
12AA1?
1212
A1B1,DE//
12
A1B1?PQ//DE?PD//QE?PD//
（Ⅲ）设A1D?AD1?O，连接AO，过点O作OH?B1E于点H，连接AH
E?AH?BE A1O?面A1B1CD，OH?B 11
得：?AHO是二面角A?B1E?A1的平面角??AHO?30
在Rt?
AOH中，?AHO?30,?AOH?90,AH?
2
OH?
2
C．
10π3
D．6π
考点分析：本题考察空间几何体的三视图.
难易度：★
解析：显然有三视图我们易知原几何体为 一个圆柱体的一部分，并且有正视图知是一个1/2的圆柱体，底面圆的半径为1，圆柱体的高为6，则知所求几何体体积为原体积的一半为3π.选B.
11.湖北10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，
九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公
式d?
. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据
π =3.141?59判断，下列近似公式中最精确的一个是
A
．d?
B
．d? C
．d?
D
．d?
考点分析：考察球的体积公式以及估算. 难易度：★★ 解析：
由V?
4
()，得d?32
6?12
d
3
设选项中常数为
6?157300
ab
,则?=
6ba
；A中代入得?=
6?1121
6?916
=3.375，
B中代入得?==3，C中代入得?==3.14,D中代入得?==3.142857，
由于D中值最接近?的真实值，故选择D。
12.湖北19．（本小题满分12分）
如图1，?ACB?45?，BC?3，过动点A作AD?BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使?BDC?90?（如图2所示）．
（Ⅰ）当BD的长为多少时，三棱锥A?BCD的体积最大； （Ⅱ）当三棱锥A?BCD的体积最大时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在
棱CD上确定一点N，使得EN?BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．
A
A第19题图
19．解：
（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△ABC中，设BD?x(0?x?3)，则CD?3?x．
由AD?BC，?ACB?45?知，△ADC为等腰直角三角形，所以AD?CD?3?x.
D 图1
C
E
C
图2
由折起前AD?BC知，折起后（如图2），ADD?C所以AD?平面BCD．又?BDC?90?，所以S?BCD?
VA?BCD?
13
AD?S?BCD?
13(3?x)?
12
3
，AD?BD，且BD?DC?D，
12
BD?CD?
12x(3?x)
．于是
x(3?x)?
112
2x(3?x)(3?x)
1?2x?(3?x)?(3?x)?2
，（lbylfx） ????12?33?
当且仅当2x?3?x，即x?1时，等号成立，
故当x?1，即BD?1时, 三棱锥A?BCD的体积最大． 解法2：
同解法1，得VA?BCD?令f(x)?
16
3
2
13
AD?S?BCD?
13
(3?x)?12
12
x(3?x)?
16
(x?6x?9x)
32
．
(x?6x?9x)
，由f?(x)?(x?1)(x?3)?0，且0?x?3，解得x?1．
当x?(0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,3)时，f?(x)?0． 所以当x?1时，f(x)取得最大值．
故当BD?1时, 三棱锥A?BCD的体积最大． （Ⅱ）解法1：以D为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系D?xyz．
由（Ⅰ）知，当三棱锥A?BCD的体积最大时，BD?1，AD?CD?2．
于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E(,1,0)，
2
且BM?(?1,1,1)．
1
设N(0,?,0)，则EN?(?,??1,0). 因为EN?BM等价于EN?BM?0，即
2
(?12
,??1,0)?(?1,1,1)?
12
12
1?0
1
，故??
12
，N(0,
12
,0)
.
所以当DN?（即N是CD的靠近点D的一个四等分点）时，EN?BM．
n?BN,1?
设平面BMN的一个法向量为n?(x,y,z)，由? 及BN?(?1,,0)， ?????
2??n?BM,
得?
y?2x,?z??x.
可取n?(1,2,?1)．
1
12
2
设EN与平面BMN所成角的大小为?，则由EN?(?,?,0)，n?(1,2,?1)，可得
1????|??1|
n?EN???60?． ?sin??cos(90??)??
2|n|?|EN|?
故EN与平面BMN所成角的大小为60.
AM
图a
B
E 图b
解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥A?BCD的体积最大时，BD?1，AD?CD?2． 如图b，取CD的中点F，连结MF，BF，EF，则MF∥AD. 由（Ⅰ）知AD?平面BCD，所以MF?平面BCD.
如图c，延长FE至P点使得FP?DB，连BP，DP，则四边形DBPF为正方形， 所以DP?BF. 取DF的中点N，连结EN，又E为FP的中点，则EN∥DP， 所以EN?BF. 因为MF?平面BCD，又EN?面BCD，所以MF?EN. 又MF?BF?F，所以EN?面BMF. 又BM?面BMF，所以EN?BM. 因为EN?BM当且仅当EN?BF，而点F是唯一的，所以点N是唯一的. 即当DN?
12
（即N是CD的靠近点D的一个四等分点），EN?BM．
2
连接MN，ME
，由计算得NB?NM?EB?EM?
所以△NMB与△EMB是两个共底边的全等的等腰三角形，
如图d所示，取BM的中点G，连接EG，NG，
则BM?平面EGN．在平面EGN中，过点E作EH?GN于H， 则EH?平面BMN．故?ENH是EN与平面BMN所成的角． 在△EGN
中，易得EG?GN?NE?
2
△EGN是正三角形，
故?ENH?60?，即EN与平面BMN所成角的大小为60?. 13.湖南3.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是
【答案】D
【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下
面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.
【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型 14.湖南18.（本小题满分12分）
如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点. （Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
来源%*中#国教~育出@版网（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD
的体积.
【解析】
解法1（Ⅰ如图（1）），连接AC，由AB=4，BC?3，?ABC?90,得AC?5. 又AD?5,Ｅ是ＣＤ的中点，所以CD?AE.
PA?平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA?CD.
而PA,AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE. （Ⅱ）过点Ｂ作BG??CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.
由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE.于是?BPF为直线ＰＢ与平面PAE 所成的角，且BG?AE.
由PA?平面ABCD知，?PBA为直线PB与平面ABCD所成的角.
AB?4,AG?2,BG?AF,由题意，知?PBA??BPF,
因为sin?PBA?
PAPB
,sin?BPF?
BFPB
,所以PA?BF.
由?DAB??ABC?90?知，AD//BC,又BG//CD,所以四边形BCDG是平行四边形，故GD?BC?3.于是AG?2.
在RtΔBAG中，AB?4,AG?2,BG?AF,所以
AB
2
BG??BF?
BG
16?
5
于是PA?BF?
5
12
又梯形ABCD的面积为S?
1
(5?3)?4?16,所以四棱锥P?ABCD的体积为
V?
1
S?P16?33
5
5
8
.15
5
解法2：如图（2），以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PA?h,则相关的各点坐标为：
A(4,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h). ????????????
（Ⅰ）易知CD?(?4,2,0),AE?(2,4,0),AP?(0,0,h).因为
CD?AE??8?8?0?0,CD?AP?0,所以CD?AE,CD?AP.而AP,AE是平面PAE
内的两条相交直线，所以CD?平面PAE.
∴四棱锥A?
BB1D1D的体积为?2?
3
16。
16.江苏16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?AC，D，E11分别是棱BC，，且AD?DE，F为B1C1的中点． CC1上的点（点D 不同于点C）求证：（1）平面ADE?平面BCC1B1； （2）直线A1F//平面ADE．
【答案】证明：（1）∵ABC?A1B1C1是直三棱柱，∴CC1?平面ABC。 又∵AD?平面ABC，∴CC1?AD。
又∵AD?DE，CC1，DE?平面BCC1B1，CC1?DE?E，∴AD?平面BCC1B1。（lb ylfx）
又∵AD?平面ADE，∴平面ADE?平面BCC1B1。 （2）∵A1B1?A1C1，F为B1C1的中点，∴A1F?B1C1。
又∵CC1?平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1，∴CC1?A1F。 又∵CC1，∴A1F?平面A1B1C1。 B1C1?平面BCC1B1，CC1?B1C1?C1， 由（1）知，AD?平面BCC1B1，∴A1F∥AD。
又∵AD?平面ADE, A1F?平面ADE，∴直线A1F//平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。
【解析】（1）要证平面ADE?平面BCC1B1，只要证平面ADE上的AD?平面BCC1B1即可。它可由已知ABC?A1B1C1是直三棱柱和AD?DE证得。
（2）要证直线A1F//平面ADE，只要证A1F∥平面ADE上的AD即可。 17江西10．如右图，已知正四棱锥S?ABCD所有棱长都为1，点E是侧棱SC上一动点，
过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE?x(0?x?1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y?V(x)的图像大致为
10.A【解析】本题综合考查了棱锥的体积公式，线面垂直，同时考查了函数的思想,导数法解决几何问题等重要的解题方法. （定性法）当0?x?度越来越快；当
12
12
时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，且递减的速
x?1时，随着x的增大，观察图形可知，V?x?单调递减，且递减的速
度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.
【点评】对于函数图象的识别问题，若函数y?f?x?的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间. 18江西19.（本题满分12分）
在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1
BC=4，在A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O。
（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长； （2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值。 19．（本小题满分12分）
解：（1）证明：连接AO，在?AOA1中，作OE?AA1于点E，因为AA1//BB1，得OE?BB1
,
因为A1O?平面ABC，所以A1O?BC,因为
AB?得AO?BC,所以BC?平面AA1O,所以BC?OE所以OE?平面BB1C1C, 又AO?
1,AA1?
得x
AE?
AO
2
AA?
1
5
(2)如图所示，分别以OA,OB,OA1所在的直线
为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0), C(0,-2,0), A1(0.0,2),B(0,2,0)
由（1）可知AE?1????42
5AA1得点E的坐标为(5,0,5
)，由（1）可知平面BB1C1C的法向量是
(45,0,2
5)，设平面A1B1C的法向量n?(x,y,z)， ??????由?n?AB?0??????，得??x?2y?0??，令y?1，得x?2,z??1，即n?(2,1,??n?A1C?0
y?z?0?1)
所以??????????
cos?OE,n??OE?nE|?|n|
|O10即平面平面AB11C与平面BB1C1C夹角的余弦值是
10
。
C1
19辽宁13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ．
【命题意图】本题主要考查简单几何体的三视图及其体积计算，是简单题.
【命题意图】由三视图知，此几何体为一个长为4，宽为3，高为1的长方体中心，去除一个半径为1的圆柱，所以表面积为 82??4?3+4?1+3??1+?2-?2=320辽宁16. 已知正三棱锥P-ABC，点PA,BC
,,
的
球面上，若PA,PB,PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为 ．
【命题意图】本题主要考查球与正三棱锥的切接问题，是难题. 【解析】如图所示，O为球心，O'为截面ABC所在圆的圆心， 设PA=PB=PC=a，PA,PB,PC两两相互垂直，
AB=BC=CA
，所以CO'=
2
2
3
，PO'=
3
，
a=2，解得，所
以，+=3PO'
3?3?33????
OO'=
3
21辽宁18. （本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-A'B'C'，?BAC=90?，AB=AC=?AA'，点M,N分别为A'B和B'C'的中点 （1）证明：MN//平面A'ACC'；
（2）若二面角A'-MN-C为直二面角，求?的值 【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结AB',AC'，由已知?BAC=90?,AB=AC 三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱，
所以M为AB'中点.又因为N为B'C'中点 所以MN//AC'，又MN?平面A'ACC'
AC'?平面A'ACC'，因此MN//平面A'ACC' ??6分 （2）以A为坐标原点，分别以直线AB,AC,AA'为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系O-xyz，如图所示 设AA'=1,则AB=AC=?， 于A?0
是
， ,
的
B?
1??所以M?,0,
2?2
设m=?x1,y1,z1
,N?,,1?，??22?
是平面A'MN
法向量，
1?????????x-z1=01?????m?A'M=0,?22
由???????得?，可取m=?1,-1,?? ????y+1z=0?m?MN=0
11
22
设n=?x2,y2,z2?是平面MNC的法向量，
-x+y2-z2=02????n?NC=0,?22
由??????得?，可取n=?-3,-1,?? ?
1??y+z=0?n?MN=0
22
22
2
因为A'-MN-C为直二面角，所以m?n=0,即
-3+?-1???-1?+?=0，解得???12分 22全国卷大纲版4．已知正四棱柱ABCD?
A1B1C1D1中，AB?2,CC1?E为CC1的中点，则直线AC1 与平面BED的距离为 A．2 B
．
C
D．1
答案D
【命题意图】本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用，以及点到面的距离的求解。体现了转换与化归的思想的运用，以及线面平行的距离，转化为点到面的距离即可。
【解析】因为底面的边长为2
，高为，且连接AC,BD，得到交点为O，连接EO，
EO//AC1，则点C1到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，过点C作CH?OE，
则CH即为所求，在三角形OCE中，利用等面积法，可得CH?1，故选答案D。 23全国卷大纲版16．三棱柱ABC?A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，
BAA1??CAA1?60?，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 。
6
【命题意图】本试题考查了斜棱柱中异面直线的角的求解。用空间向量进行求解即可。
【解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有AB1?AB?AA1,BC1?AC?AA1?AB，则
2????????????2
22
|AB1|?(AB?AA1)?AB?2AB?AA1?AA1?2?2cos60??3
2????2????2????????????????????????
22
|BC1|?(AC?AA1?AB)?AC?AA1?AB?2AC?AA1?2AC?AB?2AA1?AB?2
而AB1?BC1?(AB?AA1)?(AC?AA1?AB)
|PD?m|1??，所以PD与平面PBC所成角为. 所成角的正弦值为6|PD|?|m|2
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊
的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好。
25山东（14）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F分别为线段AA1,B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为____________。
解析：VD
1?
EDF
VF?D1DE?
13
1?
12
1?1?
16
.
F
E26山东（18）（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形， AB?CD,?DAB?60?,FC?平面ABCD,AE?BD， CB?CD?CF．
（Ⅰ）求证BD?平面AED； （Ⅱ）求二面角F?BD?C的余弦值．
（18）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD为等腰梯形，AB?CD，?DAB?60?， 所以 ?ADC??BCD?120?． 又 CB?CD， 所以 ?CDB?30?
因此 ?ADB?90?，AD?BD，
又 AE?BD，且AE?AD?A，AE,AD?平面AED， 所以 BD?平面AED． （Ⅱ）解法一：
由（I）知AD?BD，所以AC?BC，又FC?平面ABCD，
ACB
因此 CA,CB,CF两两垂直．以C为坐标原点，分别以CA,CB,CF所在
的直
线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设CB?1，则，
C(0,0,0，,?,0)，F(0,0,1)， )B
(0,1,0)，D(???? 因此
BD?(
2
,?,0)，BF?(0,?1,1)．
2
设平面BDF的一个法向量为m?(x,y,z)，
则 m?BD?0，m?BF?0， 所以
x??，取z?1， 则
m?(,1,1)．
又平面BDC的法向量可以取为n?(0,0,1)， 所以
cos?m,n????
|m||n|
， 所以二面角F?BD?
C．
解法二：
取BD的中点G，连结CG,FG，由于CB?CD，
所以CG?BD．
又FC?平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以FC?BD．
由于FC?CG?C，FC,CG?平面FCG，
所以BD?平面FCG，故BD?FG． 所以?FGC为二面角F?BD?C的平面角．
在等腰三角形BCD中，由于?BCD?120?， 因此CG?CB，又CB?CF，
2
所以CF??G， 故
cos?FGC?
, 因此 二面角F?BD?
C．
27陕西5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?A1B1C1，CA?CC1?2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（ ）
5
335
A
． B
．
C
．
5
D．
【解析】设CB?1，则AB1???2,2,1?，BC1??0,2,?1?，
则cos?AB1,BC1??
55
，故选A
28陕西18. （本小题满分12分）
（1）如图，证明命题“a是平面?内的一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a?b，则a?c”为真．
（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）
【解析】（Ⅰ）证法一 如图，过直线b上一点作平面?的垂线n，设直线a，b，c，n的方向向量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面.根据平面向量基本定理，存在实数?，?使得c??b??n，则a?c?a?(?b??n)??(a?b)??(a?n)，因为
a?b，所以a?b?0，
又因为a??，n??，所以a?n?0，故a?c?0，从而a?c .
证法二 如图，记c?b?A,P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO??,垂足为O,则O?c.?PO??,a??，?直线PO?a，又a?b，b?平面
PAO,PO?b?P,?a?平面PAO，又c?平面PAO， ?a?c.
（Ⅱ）逆命题为：a是平面?内的一条直线，b是平面?外的一条直
线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a?b，则a?c.逆命题为真命题 29上海8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2?的半圆面，则该圆锥的体积为 .
3?3
【答案】
1
2
【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到?l?2?，解得母
2
线长l?2，2?r??l?2?,r?1所以该圆锥的体积为
：
V圆锥?
13
Sh?
13
2?1??
22
33
.
【点评】本题主要考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢 30上海14．如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC?2，若AD?2c， 且AB?BD?AC?CD?2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最 大值是 . 【答案】
23
ca?c?1
2
2
【解析】据题AB?BD?AC?CD?2a，也就是说，线段
AB?BD与线段AC?CD的长度是定值，因为棱AD与棱BC互
相垂直，当BC?平面ABD时，此时有最大值，此时最大值为：
23
ca?c?1.
2
2
【点评】本题主要考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题主要考虑根据已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.
31上海19．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形， PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：
（1）三角形PCD的面积；（6分）
（2）异面直线BC与AE所成的角的大小.（6分）
[解]（1）因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又AD⊥CD，所以CD⊥平面PAD， 从而CD⊥PD. ……3分 因为PD=2?(22)?23，CD=2，
所以三角形PCD的面积为1.
2?23?232
（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B(2, 0, 0)，C(2, 22,0)，E(1, 2, 1)，
AE?(1,2,1)，BC?(0,22,0). ……8 设AE与BC的夹角为?，则
4?22，?=? cos??. 42?22 由此可知，异面直线BC与AE所成的角的大小是? ……12分 4 [解法二]取PB中点F，连接EF、AF，则 EF∥BC，从而∠AEF（或其补角）是异面直线 BC与AE所成的角 ……8分
在?AEF中，由EF=2、AF=2、AE=2
知?AEF是等腰直角三角形， 所以∠AEF=?. 4
2
2
y
E
因此异面直线BC与AE所成的角的大小是? ……12分 4
【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题． 32四川6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
[答案]C
[解析]若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以A错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故B错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故D错；故选项C正确.
[点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质，需要熟练掌握课本基础知识的定义、定理及公式.
33四川0、如图，半径为R的半球O的底面圆O在平面?内，过点O作平面?的垂线交半球面于点A，过圆O的直径CD作平面?成45?角的平面与半球面相交，所得交线上到平面?的距离最大的点为B，该交线上的一点P满足?BOP?60?，则A、P两点间的球面距离为（ ）
A
、Rarccos
4
B、
R
4
C、
Rarccos
3
D、
R
3
[答案]A
[解析] 以O为原点，分别以OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，
则A(
22
R,0,
22
R),P(
12R,
32
R,0)
COS?AOP?
AO?POR
2
24
AOP?arccos
24
（2）过D作DE?AP于E，连接CE. 由已知可得，CD?平面PAB. 根据三垂线定理可知，CE⊥PA，
所以，?CED为二面角B—AP—C的平面角. 由（1）知，DE=3 在Rt△CDE中，tan?CED?
CDDE
2
故二面角B—AP—C的大小为arctan2……………………………12分
[点评]本小题主要考查线面关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查思维能力、空间想象能力，并考查应用向量知识解决数学问题的能力.
36天津（10）―个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为m
3.
10．18+9?
【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能力.
【解析】由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体，所以其体积为：V=3?6?1+2?37天津
（17）（本小题满分13分）如图，在四棱锥P?ABCD中，PA丄平面ABCD，
AC丄AD，AB丄BC，?BAC?45?，PA=AD=2，AC=1.
43
32
()=18+9?m.
33
P
(Ⅰ)证明：PC丄AD；
（Ⅱ）求二面角A?PC?D的正弦值；
（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，
求AE的长.
【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】
（1）以AD,AC,AP为x,y,z正半轴方向，建立空间直角左边系A?xyz
C
D
则D(2,0,0),C(0,1,0),B(?
, PC?(0,1?
11
,,0),P(0,0,2) 22????????????2A),D?(2,0?,0P)?CAD??0PC? AD
（2）PC?(0,1,?2),CD?(2,?1,0)，设平面PCD的法向量n?(x,y,z)
y?2z?0?y?2z?n?PC?0
则?????? 取z?1?n?(1,2,1) ????
2x?y?0?x?z??n?CD?0????
PAC的法向量 AD?(2,0,是平面0)
AD?n
cos?ADn,????
6ADn
s?inADn??,
6
得：二面角A?PC?
D的正弦值为
6
11
（3）设AE?h?[0,2]；则AE?(0,0,2)，BE?(,?,h),CD?(2,?1,0)
22
BE?CD
cos?BE,CD??? ?h
即AE?
21010BEC【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题相似，但底面是非特殊
的四边形，一直线垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是第三问中点E的位置是不确定的，需要学生根据已知条件进行确定，如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好.
38新课标（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的
是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
(A)6 (B) 9 (C)?? (D)??
【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为V?
6?3?3?9
32
39新课标（11）已知三棱锥S?ABC的所有顶点都在球O的求面上，?ABC是边长为1的
1
1
正三角形，
SC为球O的直径，且SC?2；则此棱锥的体积为（ ）
(A)
6
(B
)
6
(C
)
3
(D)
2
【解析】选A
ABC的外接圆的半径r?
3
，点O到面ABC
的距离d??
3
SC为球O的直径?点S到面ABC
的距离为2d?
36
此棱锥的体积为V?
13
S?ABC?2d?
13
4
3
另：V?
13
S?ABC?2R?
6
排除B,C,D
40新课标（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC?BC?
D是棱AA1的中点，DC1?BD
12
AA1，
（1）证明：DC1?BC
（2）求二面角A1?BD?C1的大小。 【解析】（1）在Rt?DAC中，AD?AC 得：?ADC?45?
同理：?A1DC1?45??CDC1?90
得：DC1?DC,DC1?BD?DC1?面BCD?DC1?BC （2）DC1?BC,CC1?BC?BC?面ACC1A1?BC?AC
取A1B1的中点O，过点O作OH?BD于点H，连接C1O,C1H
A1C1?B1C1
C1O?CH?
ABA1B1C1?面A1BD?C1O?面A1BD ，面1
BD 得：点H与点D重合
OH?BD?
1
且?C1DO是二面角A1?BD?C1的平面角
2
设AC?
a，则C1O?
，C1D?
2C1O??C1DO?30
既二面角A1?BD?C1的大小为30
41浙江10．已知矩形ABCD，AB＝1，BC
ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直 C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直 【答案】B
[来源学科网]
42浙江11．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，三
棱锥的体积等于___________cm3．
【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形．故体积等于
12
3?1?2?
13?1．
则该
【答案】1
43浙江20．(本小题满分15分)如图，在四棱锥P—ABCD
中，底面是边长为的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA
＝M，N分别为PB，PD的中点．
(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；
(Ⅱ) 过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值． 【解析】本题主要考察线面平行的证明方法，建系求二面角等知识点。 (Ⅰ)如图连接BD．
[来源Z+xx+k.Com]
∵M，N分别为PB，PD的中点， ∴在?PBD中，MN∥BD． 又MN?平面ABCD， ∴MN∥平面ABCD； (Ⅱ)如图建系：
A(0，0，0)，P(0，0
，，M
(?N
(0，6)，C
3，0)．
设Q(x，y，z)
，则CQ?(x?y?3，z)，CP?(?3，．
∵CQ??CP?(，?3?，
)，∴Q????????由OQ?CP
OQ?CP?0
132
，，6)，
2
3
，3?3?，)
3
．
3?
，得：?
．
即：Q2．
对于平面AMN：设其法向量为n?(a，b，c)．
33
,,6),AN?(3,0,6)． 22
∵AM?(?
则． ∴n?（-2,?6,1)
因A1D为A1C在面A1ABB1上的射影，又已知AB1?A1C，由三垂线定理的逆定理得都与?B1AB互余，因此?A1AB1??A1DA，所以AB1?A1D，从而?A1AB1,?ADA1
Rt?AAD?1
R?t1B1A，因此，A
AA1AD
A1B1AA1
,即AA12?AD?A1B1?8,
得AA1?
从而A1D??所以，在Rt?
A1DD1中，cosA1DD1?
DD1?
AA1?
A1D
A1D
3
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