2015年高考湖南卷(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）（理科）

本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分.

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1?i?1.已知z2，则复数z=（ ） ?1?i（i为虚数单位）

A.1?i B.1?i C.?1?i D.?1?i

2.设A,B是两个集合，则”A?B?A”是“A?B”的（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

3.执行如图1所示的程序框图，如果输入n?3，则输出的S?( ) A.

6384 B. C. D. 7799

x?y??1?4.若变量x,y满足约束条件?2x?y?1，则z?3x?y的最小值为

y?1?

（ ）

A.-7 B.-1 C.1 D.2

5.设函数f(x)?ln(1?x)?ln(1?x)，则f(x)是（ ）

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数

326.

已知的展开式中含x的项的系数为30，则a?（ ）

5

7.在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲

线C为正态分布N(0,1)的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）

A.2386 B.2718 C.3413 D.4772

附：若X?N(?,?2)，则

P(???????)?0.6826

P(??2????2?)?0.9544

8.已知点A,B,C在圆x?y?1上运动，且AB?BC.若点P的坐标为22

（2,0），则PA?PB?PC的最大值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9

9.将函数f(x)?sin2x的图像向右平移?(0????

2)个单位后得到函数g(x

)的图像，若对满足

1f(x1)?g(x2)?2的x1,x2，有x1?x2min?

A.?3，则??（ ） 5???? B. C. D. 12346

10.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成

一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在

原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为

新工件的体积）（ ） 原工件的体积

816

A. B.9?9?

1)3（材料利用率=

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

211.?0(x?1)dx?.

12.在一次马拉松比赛中，35名运动员的

成绩（单位：分钟）的茎叶图如图4所示.

若将运动员按成绩由好到差编为1?35号，

再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中

成绩在区间[139,151]上的运动员人数

是 .

x2y2

13.设F是双曲线C：2?2?1的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个ab

端点，则C的离心率为.

14.设Sn为等比数列?an?的前项和，若a1?1，且3S1,2S2,S3成等差数列，则an?.

x3,x?a15.已知函数f(x)??2，若存在实数b，使函数g(x)?f(x)?b有两个零点，则a的取值范

x,x?a

围是.

三、解答题

16.（本小题满分12分）

本小题设有Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内。如果全做，则按所做的前两题计分。

Ⅰ（本题满分6分）选修4-1，几何证明选讲

如图，在圆?O中，相交于点E的两弦AB、CD的中点分别是M、N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：

0（1）?MEN??NOM?180；

（2）FE?FN?FM?

FO

2

（2）若PQ//平面ABB1A1，二面角P-QD-A的余弦值为3，求四面体ADPQ的体积. 7

y2x2

20.已知抛物线C1:x?4y的焦点F也是椭圆C2:2?2?1(a?b?0)的一个焦点，C1与C2的公

ab共弦的长为（1）求C2的方程； ????????（2）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且AC与BD同向 （ⅰ）若|AC|?|BD|，求直线l的斜率

（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，?MFD总是钝角三角2 形

ax*21.已知a?0，函数f(x)?esinx(x?[0,??)). 记xn为f(x)的从小到大的第n(n?N)个极值点,

证明：

（1）数列{f(xn)}是等比数列

（2

）若a?，则对一切n?N，xn?|f(xn)|恒成立.

*

4答案

一、选择题

1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.D 7.C 8.B 9.D 10.A

二、填空题

11.0 12.4

14.3 15.(??,0)?(1,??)

三、解答题

16.

Ⅰ.解：（1）如图a所示，因为M，N分别是弦AB,CD的中点，所以OM?AB,ON?CD,

即?OME=90，?ENO=90，?OME+?ENO =180，又四边形的内角和等于360，故?MEN+?

oNOM=180；（2）由（I）知，O,M,E,N四点共圆，故由割线定理即得FE?FN?FM?FO oon?1oo

Ⅱ.解：（1）??2cos?等价于?2?2?cos?①，将?2?x2?y2，??cos??x带入①，即得曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2x?0②，

22(2).将

代入②，得t??18?0，设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则由参数t1?2

的几何意义即知，MAMB?t1t2?18. x5?

11a?b??，a?0，b?0，得ab?1. abab

（1）由基本不等式及ab?1，有a?b?2ab?2，即a?b?2；

222（2）假设a?a?2与b?b?2同时成立，则由a?a?2及a?0得0?a?1，同理0?b?1，

22从而ab?1，这与ab?1矛盾，故a?a?2与b?b?2不可能同时成立. Ⅲ证明：由a?b?

17.解：（I）由a=btanA及正弦定理，得

又B为钝角，因此sinAbsinB???,所以sinB=cosA，即sinB=sin（+A）. cosAacosB2????+A?（，?），故B=+A，即B-A=； 2222

（Ⅱ）由（I）知，C=?-（A+B）=?-(2A+)=-2A>0，所以A??0,?，于是 22?4?

129??2sinA+sinC=sinA+sin（-2A）= sinA+cos2A=-2sinA+sinA+1 =-2（sinA-）+，因为0<><><><>< p=""><><><><>

51?99?,

sinA???? 4?88?

9由此可知sinA+sinC

]. 818.解：（Ⅰ）记事件A1=｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝， 2

A2=｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝

B1=｛顾客抽奖1次获一等奖｝

， B2=｛顾客抽奖1次获二等奖｝

C=｛顾客抽奖1次能获奖｝.

由题意，A1与A2相互独立，A1A2与A且B1=A1A2，B2=A1A2+AC=B11A2互斥，B1与B2互斥，1A2，+B2.

4251211=，P(A2)==，所以P（B1）=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=?=， 105102525

P（B2）=P（A1A2+A1A2）=P（A1A2）+P（A1A2）=P（A1）(1- P(A2))+(1- P（A1）)P(A2) 因P（A1）=

21211117?(1-)+(1-)?=，故所求概率为P(C)= P(B1+B2)=P（B1）+ P（B2）=+=. 525225210

1（Ⅱ）顾客抽奖3次独立重复试验，由（I）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为， 5

1所以X~B（3，）. 5=

于是 48121043641114221241，P(X=1)=C3()()=，P(X=2)=C3()()=， 125125555555125

131340P(X=3)=C3()()=

55125P(X=0)=C3()()=0

13=. 55X的数学期望为 E（X）=3?

19. 解法1：由题设知，AA以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x轴，1,AB,AD两两垂直。

y轴，z轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A(0,0,0),B1(3,0,6), D(0，6，0),D1(0，3，6),Q(6，m，0)，其中m=BQ,0?m?6

99Q?6,(m?3),（1）若P是DD1的中点，则P（0,，3），P于是AB1?PQ=18-18=0，AB1=(3,0 ,6)，22????????所以AB1?PQ，即AB1?PQ； ?????????（2）由题设知，DQ=(6，m-6,0),DD1=(0,-3,6)是平面PQD内的两个不共线向量.

6n?DQ?0?6x?(m?6)y?0??设n1=（x，y，z）是平面PQD的一个法向量，则?1????，即?， ???3y?6z?0?n1?DD1?0

取y=6，得n1=（6-m，6,3）.又平面AQD的一个法向量是n2=（0，0，1），所以

3n1?n2 cos=而二面角P-QD-A的余弦值为，

7|n1|?

|n2|设DP??DD1(0???1),而DD1?(0,?3,6),由此得点P(0,6?3?,6?),

所以因为PQ//平面ABB1A,0)， 1,且平面ABB1A1的一个法向量是n3?(0,1

2所以PQ?n3?0，即3?-2=0，亦即??，从而P（0,4,4），于是，将四面体ADPQ视为△ADQ为3

111底面的三菱锥P-ADQ,则其高h=4,故四面体ADPQ的体积V?S?ADQ?h???6?6?4?24. 332

解法二 （Ⅰ）如图c，取A1A的中点R，连结PR,BR,因为A1A，D1D是梯形A1AD1D的两腰，P是D1D的中点，所以PR//AD，于是由AD//BC知，PR//BC,所以P,R,B,C四点共面.

1由题设知，BC?AB,BC?A1A,所以BC?平面ABB1A1,因此BC?AB1○

因为tan?ABR=?.解得m=4，或m=8(舍去)，此时Q（6,4,0） AR3AB1===tan?A1AB1,所以tan?ABR=tan?A1AB1，因此 AB6A1A

1即知AB?平面PRBC，又PQ?平?ABR??BAB1=?A1AB1??BAB1=90o，于是AB1?BR，再由○1

面PRBC，故AB1?PQ.

（Ⅱ）如图d，过点P作PM//A1A交AD于点M，则PM//平面ABB1A1.

PNM因为A1A?平面ABCD，所以OM?平面ABCD,过点M作MN?QD于点N，连结PN，则PN?QD，

为二面角P-QD-A的平面角，所以cos?PNM=3MN3PM3 ?，即=,

从而○7PN7MN连结MQ，由PQ//平面ABB1A所以MQ//AB，又ABCD是正方形，所以ABQM为矩形，故MQ=AB=6. 1，

设MD=t，则

4过点D作DE//AA交AD于点E，则AADE为矩.○11111

形，所以D1E=A1A=6，AE=A1D1=3，因此ED=AD-AE=3，于是PMD1E6???2,所以PM=2MD=2t， MDED3

3○4

再由○，解得t=2，因此PM=4.故四面体ADPQ的体积

7111V?S?ADQ?PM???6?6?4?24. 332

20、解：（1）由C1:x2?4y知其焦点F的坐标为（0,1），因为F也是椭圆C2的一焦点，

1又C与C的公共弦的长为

，C与C都关于y轴对称，且C的方程为所以 a?b?1○1212122

39622，1，2得a=9，由此易知C1与C2的公共点的坐标为

（），所以2?2?1○联立○○x2?4y，24ab

x2y2

23；b=8，故C2的方程为??1○（2）如图f，设A（x1,y1）B（x2,y2）C（x3,y3）D（x4,y4）. 98????????????????（i）因AC与BD同向，且|AC|=|BD|,所以AC=BD，从而x3?x1=x4?x2，即

3 x1?x2=x3?x4，于是?x1?x2?-4x1x2= ?x3?x4?-4x3x4○22

y?kx?12x?4kx?4?0.而x1，x2是这个方程的两得2?x?4y

y?kx?1?224 ，由?2根.所以x1?x2=4k，x1x2=-4○得（9+8k）x+16kx-64=0.而x3，x4是这个方程的xy2

1??9?8设直线l的斜率为k，则l的方程为y=kx+1.由?

两根.所以

x3?x4=-

16k644?6416k25，将○4○5带入○3 ，得16（k+1）=，=-○+,即 xx34222229?8k9?8k?9?8k?9?8k

16（k+1）=2162?9(k2?1)

9?8k?22，所以9?8k?22?=16?9，解得

k=l

的斜率为（ii）由x?4y得y=

y=x1x-2'xx，所以C1在点A处的切线方程为y-y1=1（x-x1），即 22 x1xx，即M（1,0）,所以FM=(1,-1).而FA=(x1,y1?1).于是 2224

x12x12FA?FM=-y1?1=+1>0，因此?AFM是锐角，从而?MFD?180o??AFM是钝角

. 24.令y=0得x=

8 x12故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形.

21. 解：（1）f'(x)?aeaxsinx?eaxcosx?

eax(asinx?cosx)?axsin(x??)

1?*，0<?<.令f'(x)=0，由x?0得x+?=mx, 即x=m?-?，m?N. a2

对k?N，若2k?<><><><(2k+1)?-?,则f'(x)>0； 其中tan?=<><><(2k+1)?-?,则f'(x)>

若（2k+1）?<><><><><>< p=""><><><><><>

因此，在区间（（m-1）?，m?-?）与（m?-?，m?）上，f'(x)的符号总相反.于是 当x= m?-?(m?N)时，f(x)取得极值，所以xn? n???(n?N*).

此时，f(xn)?e

a?n????*sin(n???)?(?1)n?1e a?n????sin?.易知f(xn)?0，而 f(xn?1)(?1)n?2e ????sin?a?n????ax???e是常数，故数列是首项为=f(x)f(x)e sin?，??1nan???n?1f(xn)(?1)e sin?

ax*公比为?e的等比数列；（2）由（I）知，sin?

，于是对一切n?N,xn<|f(xn)|恒成立，a?n?1????

即

etet(t?1)''（t）=设g（t）=（t）0），则g.令=0得t=1， g（t）2tt

'当0<><><>< p=""><><><>

'当t>1时，g（t）>0，所以g（t）在区间（0,1）上单调递增.

从而当t=1时，函数g（t）取得最小值g（1）=e n???? a?n????e a?n?????

（?）恒成立（因为a>0）， an???因此，要是（?

）式恒成立，只需. ?g(1)?

e，即只需a?a1?而当

时，由tan?=

0???.于是

a

22?3

n?

2时，n????2?????因此对一切 3n?

N,axn?.故（?）式亦恒成立. ?1，所以g（axn）?g(1)?e?*综上所述，若a?n?N，xn?|f(xn)|恒成立. *

9