高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线:
在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解;(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系:若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0;点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点:若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1,C2的交点?{个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点。 二、圆:
1、定义:点集{M||OM|=r},其中定点O为圆心,定长r为半径.
2、方程:(1)标准方程:圆心在c(a,b),半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r 圆心在坐标原点,半径为r的圆方程是x2+y2=r2
(2)一般方程:①当D2+E2-4F>0时,一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,圆心为(?
2
2
2
f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0
方程组有n
D2
,?
E2
)半径是
D
2
E2
2
4F
。配方,将方程x+y+Dx+Ey+F=0化为(x+
22
D2
)+(y+
2
E2
22
2
)=D?E-4F
4
②当D2+E2-4F=0时,方程表示一个点(-
D2
,-
E2
);
③当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
(3)点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0),则|MC|<r?点M在圆C内,|MC|=r?点M在圆C上,|MC|>r?点M在圆C内,其中|MC|=
(x0-a)?(y0-b)
22
。
(4)直线和圆的位置关系:①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系:直线与圆相交?有两个公共点;直线与圆相切?有一个公共点;直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定:(i)判别式法;(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d?小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义:
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e>0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点,定直线l称为准线,正常数e称为离心率。当0<e<1时,轨迹为椭圆;当e=1时,轨迹为抛物线;当e>1时,轨迹为双曲线。
Aa?Bb?CA?B
2
2
与半径r的大
- 1 -
- 2 -
【备注1】双曲线:
⑶等轴双曲线:双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为y??x,离心率e?
2.
⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.
xa
22
yb
22
与
xa
22
yb
22
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
xa
22
yb
22
0.
⑸共渐近线的双曲线系方程:
xa
22
yb
22
(??0)的渐近线方程为
xa
22
yb
22
0如果双曲线的渐近线为
xa
yb
0时,它的双曲
线方程可设为
xa
22
yb
22
(??0).
【备注2】抛物线:
(1)抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是(
2
p2
,0),准线方程x=-
p2
,开口向右;抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐标是(-
2
p2
,0),
准线方程x=
p2
,开口向左;抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,
2
p2
),准线方程y=-
p2
,开口向上;
抛物线x=-2py(p>0)的焦点坐标是(0,-
2
p2
),准线方程y=
p2
,开口向下.
(2)抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?
2
p2
;抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的
2
距离MF?
p2
x0
(3)设抛物线的标准方程为y=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为p.
2
p2
,顶点到准线的距离
p2
,焦点到准线的距离为
(4)已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,则线段AB称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长
2
AB=x1?x2+p或AB?
五、坐标的变换:
2psin?
2
(α为直线AB的倾斜角),y1y2??p,x1x2?
2
p
2
4
,AF?x1?
p2
(AF叫做焦半径).
(1)坐标变换:在解析几何中,把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时,点的位置,曲线的形状、大小、位置都不改变,仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
(2)坐标轴的平移:坐标轴的方向和长度单位不改变,只改变原点的位置,这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移,简称移轴。 (3)坐标轴的平移公式:设平面内任意一点M,它在原坐标系中的坐标是,在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x,y).
'
'
设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k),则 叫做平移(或移轴)公式.
(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:
x?x'?hy?y'?k
或
x'?x?hy'?y?k
- 3 -
1. 2. 3. 4.
点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
PT平分△PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
若P0(x0,y0)在椭圆
xaxa
22
ybyb
22
1上,则过P0的椭圆的切线方程是
x0xa
2
y0yb
2
1.
22
22
6.
若P0(x0,y0)在椭圆
1外,则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是
x0xa
2
y0yb
2
1.
7. 椭圆
xa
22
yb
22
1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上任意一点?F1PF2??,则椭圆的焦点角形的面积
为S?F1PF2?btan
22
22
2
2
.
8. 9.
椭圆
xa
yb
1(a>b>0)的焦半径公式|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、
- 4 -
N两点,则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11. AB是椭圆
xa
22
yb
22
1的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则kOM?kAB??xa
22
ba
22
,即K
AB
bx0ay0
2
2
。
12. 若P0(x0,y0)在椭圆【推论】:
1、若P0(x0,y0)在椭圆
yb
22
1内,则被Po所平分的中点弦的方程是
x0xa
2
y0yb
2
x0a
2
2
y0b
2
2
;
xa
22
yb
22
1内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
xa
22
yb
22
x0xa
2
y0yb
2
。椭圆
xa
22
22
yb?
22
1(a>b
22
>o)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是
xa
yb
1.
2、过椭圆
2
xa
22
yb
22
b>0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且?1 (a>0,
kBC?
bx0ay0
2
(常数).
3、若P为椭圆
xa
22
yb
22
1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??,则
a?ca?c
tan
22
2
cot
22
2
.
4、设椭圆
xa
yb
1(a>b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF1F2中,记?F1PF2??,
sin?sin??sin?
ca
PF1F2??,?F1F2P??,则有
e.
5、若椭圆
xa
22
yb
22
1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当0<e
1时,可在椭圆上求一点P,使
得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为椭圆
xa
22
yb
22
1(a>b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,
当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
7、椭圆
(x?x0)axa
2
2
yb
22
(y?y0)
b
2
2
1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?(Ax0?By0?C).
22222
22
8、已知椭圆
1111
1(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OP?OQ.(1);???2222
|OP||OQ|ab
4ab
2
2
22
(2)|OP|+|OQ|的最大值为
22
a?b
;(3)S?OPQ的最小值是
ab
2
222
a?b
.
- 5 -
8、双曲线
xa
22
yb
22
1(a>0,b>o)的焦半径公式:(F1(?c,0) , F2(c,0))当M(x0,y0)在右支上时,
|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a;当M(x0,y0)在左支上时,|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点M,A2P和A1Q交于点N,则MF⊥NF. 11、AB是双曲线
xa
22
yb
22
1(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则KOM?K
AB
bx0ay0
2
2
,即
K
AB
bx0ay0
2
2
。
12、若P0(x0,y0)在双曲线
xaxa
22
ybyb
22
1(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是
xa
x0xa
22
2
yb
22
y0yb?
2
x0a?
2
2
y0b
2
2
.
22
22
13、若P0(x0,y0)在双曲线【推论】: 1、双曲线
1(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是?
x0xa
2
y0yb
2
.
xa
22
ybxa?
2
22
1(a>0,b>0)的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交yb
22
22
点的轨迹方程是
yb
22
1.
2、过双曲线
xa
22
1(a>0,b>o)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定
向且kBC??
bx0ay0
2
(常数).
3、若P为双曲线
xa
22
yb
22
1(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??,
c?ac?a
则
c?ac?a
tan
22
2
cot
22
2
(或?tan
2
cot
2
).
4、设双曲线
xa
yb
1(a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记?F1PF2??,
sin??(sin??sin?)
ca
PF1F2??,?F1F2P??,则有
e.
5、若双曲线
xa
22
yb
22
1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当1<e
1时,可在双曲线上求一点
P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为双曲线xa
22
yb
22
1(a>0,b>0)上任一点,F1,F2为二焦点,A为双曲线内一定点,则|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当
且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时,等号成立.
7、双曲线
xa
22
xa
yb
22
22
22222
1(a>0,b>0)与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.
8、已知双曲线
1
yb
22
,O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP?OQ. ?1(b>a >0)
2
22
2
22
(1)
1|OP|
2
22
|OQ|?yb
22
2
1a
2
1b
2
;(2)|OP|+|OQ|的最小值为
22
4ab
2
b?a
;(3)S?OPQ的最小值是
ab
2
b?a
.
9、过双曲线
xa
1(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则
|PF||MN|
e2
.
10、已知双曲线
xa
22
yb
22
1(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则a?bayb
222
2
x0?
a?ba
22
或x0??
.
11、设P点是双曲线
xa
22
2
1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??,则
(1)|PF1||PF2|?
2b
1?cos?xa
22
.(2) S?PFF?bcot
1
2
2
2
.
12、设A、B是双曲线?
yb
22
PAB??, ?PBA??,?BPA??,(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,?1
c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)|PA|?
2ab|cos?||a?ccos?|
2
2
2
2
.
(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB?
2
2ab
2
222
b?a
cot?.
13、已知双曲线
xa
22
yb
22
1(a>0,b>0)的右准线l与x轴相交于点E,过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,
点C在右准线l上,且BC?x轴,则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论:
①ay?by?c?x顶点(
2
4ac?b4a
2
b2a
).
②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
2
2
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
x?2pt2?x?2pt
④y?2px(或x?2py)的参数方程为?(或?
y?2pt?y?2pt
2
2
2
)(t为参数).
圆锥曲线的性质对比
转载请保留出处,http://www.doczj.com/doc/c10dd2fcc8d376eeaeaa313c.html
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