角是“图形与几何”中最基本的平面图形，是学生学习几何图形的认知基础，由于其内容具有相对的独立性，且具有一定的操作性，常常成为第一学段教师执教公开课的首选内容。教师在教学“角的初步认识”时，首先要研究教科书，不仅要研究自己当前使用的教科书，还要横向研究其他版本的教科书，以求深入理解教科书，合理设计教学内容。笔者对当前使用的苏教版、人教版和北师大版三个版本教科书中有关“角的初步认识”内容进行了比较研究，分析异同，供教学参考。
苏教版、人教版和北师大版的小学数学教科书对“角的初步认识”内容所在的单元及相关内容编排的情况整理如下表：
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由上表可知，苏教版和人教版教科书虽然单元内容的呈现前后有差异，但都是以角的初步认识作为单元标题，而后在例1中以角的初步认识作为起始课，因此，单元标题是广义层面的角的初步认识，包含最起始的角的认识，还有一些角的分类的初步知识，其中例1的内容是狭义层面的角的初步认识。北师大版教科书是以认识图形为单元标题，内容较多，包含狭义层面的角的初步认识。本文所研究的主要内容是狭义层面的角的初步认识，即角的概念最初始内容的比较研究。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》在学段目标中对于第一学段提出了关于“图形与几何”领域的具体目标，要求学生在知识技能方面经历从实际物体中抽象出平面图形的过程，了解一些常见的平面图形，在从物体抽象出几何图形的过程中发展空间观念。因此在第一学段的课程中对图形的认识编排了结合情境认识角，了解直角、锐角和钝角的具体内容。三个版本教科书都能够根据课程标准的要求创设虚拟情境并以主题图的形式分别呈现了几个实物，还在实物图片上用明显的颜色的线标出角（如图1-1、1-2、1-3），让学生初步感知角在常见物体中的实际存在。
图1-1（苏教版）
图1-2（人教版）
图1-3（北师大版）
从图中可以发现，三个版本教科书都呈现了三种素材，人教版和北师大教科书呈现的三种素材完全相同——剪刀、钟面和三角尺上的角；三个版本教科书中都有三角尺和钟面这两种素材，唯一不同的是苏教版教科书呈现了长方形的纸袋。仔细研究后不难发现，用三角尺作为素材可以从其名称并结合具体实物直接引入角，而用剪刀和钟面呈现角有几点好处：一是剪刀刀刃和钟面指针相对来说比较细长，其宽度忽略不计的话，可以看作角的两条边，便于学生直观认识角；二是剪刀刀刃和钟面指针形成的角的中间区域是空的，没有其他边线的干扰，利于学生对角形成正确的认识，弱化角的两边所在平面区域造成的负面影响；三是这两种实物是活动角的雏形，给学生后续动手做活动角提供了一个模板；四是剪刀和钟面中间都有连接轴，这个连接轴能够帮助学生更加直观地认识角的顶点。剪刀和钟面这两种物体都是把运动中产生的角以静态的形式呈现出来，但是和角的动态含义又不同，角的动态含义是把一条射线绕着端点旋转后形成的图形，而剪刀刀刃在张开的时候一般是同时向两边张开的，钟面上的两根指针却是在运动中同时朝着同一个方向运动，只不过因为时针速度太慢而没有凸显而已，所以剪刀和钟面上的角不符合角的动态含义，只能是丰富学生对角的认识。
数学抽象能力是数学核心素养之一，三个版本教科书在从实物图片中抽象出角的过程，不仅培养了学生的抽象思维能力，还利于学生总结发现角的内涵特征，发展空间观念，且抽象出来的图形渗透了角的外延属性。
图2-1（苏教版）
图2-2（人教版）
图2-3（北师大版）
从图中可以发现，苏教版和北师大版教科书是从左往右依次抽象出锐角、直角、钝角这三个角，基本上是按角的大小顺序呈现的；人教版教科书略有不同，是从左往右依次抽象出锐角、钝角和直角三个角。三个版本教科书都用抽象的三个角渗透了角的外延属性。如果把角的一边与水平线平行的角称为角的标准图形，那么苏教版教科书呈现的是角的标准图形，人教版教科书呈现的是角的变式图形，北师大版教科书呈现的既有角的标准图形又有角的变式图形。标准图形因其端正规范，有利于学生更好地发现及总结图形特征，但是也容易让学生形成思维定式。变式图形因方向、位置等非本质属性的改变，利于学生把当前认知经验（变式图形的表象）进行重组，扩充认知结构的内涵，获得对图形的全面认识，培养发散思维能力，但是变式图形也有引起泛化的缺点。因此，北师大版教科书中抽象的角既有标准图形也有变式图形，能让学生更充分地认识角。
课程标准强调动手实践是学生学习数学的重要方式之一，三个版本教科书都能够编排相应的内容引导教师在教学时让学生在折一折、做一做、画一画等活动中不断丰富对角的认识。角不仅有一个顶点、两条边，还有大小。为了丰富学生对角的大小的认识，三个版本教科书都编排了相应的动手操作内容，让学生全面感知。如苏教版和北师大版教科书都编排了让学生动手做活动角后感知角有大小，并初步感知角的大小与它两条边叉开的大小无关的内容，人教版教科书则编排了两个小朋友折不同大小的角，引导学生初步感知角的大小，如图3-1、3-2、3-3。
水结冰时其体积约增加9%，但水在变成冰的过程中，冰体的压力并不很大。随着气温的降低，冰的温度下降，体积变小。当温度再升高时冰则膨胀，如果发生阻碍冰体膨胀的情况，就产生了作用在钢闸门上的冰压力。冰压力分为静冰压力和动冰压力。静冰压力指冰盖层膨胀对钢闸门表面产生的冰压力，静冰压力的数值与冰原、开始升温时的气温及气温上升率有关。动冰压力是指冰盖层解冻后，冰块漂流撞击钢闸门时产生的撞击力。
把两根硬纸条钉在一起，做成一个活动角。
陆机此役之败，战场何处，诸家史籍颇有记载。亲兄参与战事、几乎直击现场[注] 参见《晋书》卷八十二《王隐传附兄王瑚传》，第2143页。的同时代人王隐，在其《晋书》中即作如下书写：
图3-1（苏教版）
图3-2（人教版）
3.这是淘气做的活动角，你也做个活动角，试一试。
目前全球玉米供需平衡已经趋紧，美国玉米价格与去年的水平一致。尽管今年玉米产量创下历史新高，但美国玉米库存与使用量之比仍为2013年以来最低。在过去的三年中，中国玉米的库存下降近50%，低于10年以来的平均水平。由于美国与中国的贸易争端，大豆价格受到产量和持续不确定性的压力。
图3-3（北师大版）
角是认识封闭平面图形的要素之一，也是一些平面图形非常重要的本质属性之一，比如三角形的特征和四边形的特征中就有关于角的个数的特征，又如三角形的分类中就对角的大小进行了分类，等等。为了进一步强化学生对角的初步认识，沟通知识之间的联系，三个版本教科书中都编排了在平面图形中找角的练习（如图4-1、4-2、4-3），在强化学生对角的辨别的同时发展了学生的数学思考能力。苏教版教科书中编排了“想想做做”和“练习3”两个层次的练习，培养学生运用知识和建构知识的能力。人教版教科书编排了一道找平面图形中的角的练习题，北师大版教科书则编排了三道在平面图形中找角的练习题：一是在单一平面图形中找出三个角；二是在组合平面图形中找出三个角；三是在三角形、四边形和五边形中找角。苏教版和北师大版教科书都有意渗透角的个数和图形边数的对应关系，突出角作为图形基本要素的研究的必要性。
下面的图形各有几个角?
下面的图形各是几边形，各有几个角?
图4-1（苏教版）
3.下面的图形中各有几个角?
图4-2（人教版）
在下面的图中各找出三个角，标一标。
在下面的每个图中各标出三个角。
4.数一数，下面图形中各有几个角？
“‘粮食银行’的本质，就是通过规模化、集约化生产，实现农业生产与现代化大市场的结合，带动农民增收。这个过程要依靠大型国企来引领，用新型经济组织和经济业态来推动，真正助力乡村产业振兴、保障粮食安全。”赵双连说。
图4-3（北师大版）
三个版本教科书在“角的初步认识”内容的编排上有许多相同的地方，但也有一些不同之处。
在上文论述的相同点中可以看到，三个版本教科书都以钟面指针的形态呈现角，把运动后产生的角以静态的形式呈现，但三个版本教科书在活动角的制作以及其他关于角的大小变化的活动中，对于角的动态的定义又有着不同的体现。苏教版教科书在引导学生用活动角感受角的变化时，水平方向的边保持不变，只朝一个方向转动角的一条边，呈现角的大小变化（如图3-1），这样的操作更加符合角的动态定义，即角是一条射线绕着它的顶点旋转后形成的图形，这样的图示生动地展现了角的动态形成过程，也准确渗透了角的动态定义。人教版教科书的练习是通过打开折扇感受角的变化，这种运动产生角的变化和剪刀刀刃、钟面指针形成的角的运动变化是一致的，但是和苏教版教科书的活动角还是有着本质区别。
三个版本教科书关于画角的内容有着不同的编排。苏教版教科书在学生认识抽象的角之后，没有编排画角的内容；北师大版教科书呈现学生借助带有角的图形或物体描画角，让学生体会角的组成，并没有要求学生掌握画角的技能，学生对于这样的描画角比较感兴趣。而人教版教科书用语言表述并结合程序图的方式展示了画角的步骤与方法，显得更上位一些，二年级学生也是能够接受的。因此，在实际教学中可将北师大版和人教版教科书的画角内容（如图5）结合起来，让学生先自由画角，而后再规范画角，加深学生对角的认识。
施工管理是建筑施工的重点，在土建工程施工中，要根据实际施工中的存在的具体问题及时调整和完善施工监督，做到按时完工。做到文明施工，规范施工。同时要将施工的目标分配到岗，责任到人，设立奖惩制度，此外，还要组织技术人员按分部分项工程进行检查验收，一旦发现问题必须进行严格整改并与予以处罚警示。
网友们的第一反应也是不太相信，有的调侃说：我超意兴准备接手山东男篮，有的比较悲观：难道济南找不到一家可以接手山东男篮的私企了吗？
图5 两个版本教科书中的画角
角有大小但与角的边长无关，此部分内容因对学生而言具有一定的抽象性和认识上的错觉性而一直成为教学的难点。三个版本教科书（如图6-1、6-2、6-3）都是让学生利用手中常用的学具——三角尺进行角的大小比较，并且从中感悟角有大小，以及角的大小与边长无关。但是三个版本教科书中呈现的三角尺比较角的大小内容有着明显的差异。苏教版教科书呈现的是用三角尺上的角去比给定的三个角，让学生在比的过程中学会比较的方法，感受角的大小与边的长短无关，渗透用标准角去度量其他角的方法。人教版教科书编排了在一副三角尺里各选一个角比较它们大小的内容，如比较45°和60°两个角，让学生在比较的过程中感受到当重合角的一条边之后，45°角的一条边比60°角的一条边长，而另一条边则相反；又如比较30°角和45°角，30°角的两边比较长，但30°角是比较小的。通过如此操作活动，学生初步感知角的大小与它两条边的长短没有关系。北师大版教科书则是把三角尺中两个大小相同的角重叠在一起，让学生发现“都是同样的角，但是角的大小和边的长短无关”。在实际教学时，如果同桌合作可能会出现北师大版教科书呈现的情况，但学生更多地会拿自己手中的三角尺去比其他的角，或者把一副三角尺上的两个角重叠后再比较。因此，在教学过程中可借鉴三个版本教科书的编排内容，在学生分组操作后呈现多种情况，以加深学生对角有大小且与角的两边长短无关的理解。
4.比一比，说一说，下面对角与三角尺上的哪个角一样大？
图6-1（苏教版）
图6-2（人教版）
如图，比较两个三角板的角的大小，你发现了什么？
我有个文人圈子。说它是文人圈子，是因为圈子里男女老少几十号人个个都能舞文弄墨、吟诗作文。有人还出了几本书，堪称作家。去年建了个微信群，大伙儿常在里面聊天、发信息、晒文章，很是热闹。
图6-3（北师大版）
三个版本教科书都在角的引入时呈现了钟面上的角，但在后续的学习中有关钟面上角的呈现程度差异较大，仅苏教版教科书在后续学习角的内容中编排了钟面上的角，人教版和北师大版教科书在该单元中则没有编排钟面上的角的内容。苏教版教科书不仅在引入角的时候用到了钟面，在角的大小判断上还编排了三个带有刻度的钟面——比较指针形成的角的大小，这样，不仅能直观观察出角的大小，还能够从角的两边所夹的刻度识别出角的大小，感悟角的大小和指针的长短也就是边的长短无关，并且每个角都可以通过两边所夹的刻度进行计量，提前渗透量角的方法；继而在学习了直角之后再次用到钟面上的角，用直角和钟面上的角比较大小并判断角的类型。苏教版教科书对于钟面上的角的材料使用是很充分的，但是在第三次用到的钟面上的角的选材方面以及用三角尺上的直角进行度量方面还有待改进，用整时刻度会比较好，这样可以保证直角竖直方向的直角边与刻度12保持重合，观察另一条边即可，如图7的第二个和第三个钟面上的直角水平方向上的边与刻度3重合时，另一条边不应和时针完全重合。
下面钟面上时针和分针形成的角，哪个是直角？哪个比直角大，哪个比直角小？
图7
通过上述比较，不但能加深教师对“角的初步认识”教科书内容的理解，还能让教师把对教材的深入理解转化到教学设计和教学实施活动中去，达到教学相长的目的。
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