对于初中数学，我们从大层面去划分，可以把整个初中数学大致分为"数与代数"、"图形与几何"、"统计与概率"和"综合与实践"这四个方面。其中代数一般包括实数、代数式、方程和你不等式（组）、函数这四方面的内容。
从内容划分上看，与代数相关的问题自然是中考数学必考的重点内之一。特别是方程和你不等式（组）和函数这两块内容，更是中考中重点的重点，中考数学高分的必要保障。
纵观历年全国各地中考数学试卷，我们可以很直白的发现，与代数有关的综合题一直是中考数学的热门命题对象，深受中考命题老师的青睐。
什么是代数综合题？
一般是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要包括方程、函数、不等式等内容。
很多人听到“代数”这一词，脑子浮现的就是计算计算，其实不然，代数综合题蕴含着丰富的数学思想方法，如有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等。
中考数学，代数综合题，典型例题分析1：
一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7X倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5X倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加X倍（本题中0＜X≤11）．
（1）用含X的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为 元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为 元．
（2）求今年这种玩具的每件利润Y元与X之间的函数关系式．
（3）设今年这种玩具的年销售利润为W万元，求当X为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？
注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．
解（1）10+7x；12+6x；
（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），
∴y=2﹣x （0＜x＜2）；
（3）∵W=2（1+x）·y
=﹣2（1+x）（x﹣2）
=﹣2x2+2x+4，
∴W=﹣2（x﹣0.5）2+4.5
∵﹣2＜0，0＜x≤11，
∴W有最大值，
∴当x=0.5时，W最大=4.5（万元）．
答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．
考点分析：
二次函数的应用；应用题。
题干分析：
（1）根据题意今年这种玩具每件的成本比去年成本增加0.7x倍，即为（10+10·0.7x）元/件；这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，即为（12+12·0.5x）元/件；
（2）今年这种玩具的每件利润Y等于每件的出厂价减去每件的成本价，即y=（12+6x）﹣（10+7x），然后整理即可；
（3）今年的年销售量为（2+2x）万件，再根据年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量，得到W=﹣2（1+x）（x﹣2），然后把它配成顶点式，利用二次函数的最值问题即可得到答案。
解题反思：
本题考查了二次函数的顶点式：y=a（x﹣k）2+h，（a≠0），当a＜0，抛物线的开口向下，函数有最大值，当x=k，函数的最大值为h．也考查了代数式的表示和利润的含义以及配方法。
这是一道以二次函数相关知识内容为背景，结合实际生产生活中的问题，应用相关代数知识内容和方法技巧去解决，此类问题不仅能很好考查考生知识掌握程度，更能考查考生运用知识解决问题的能力和思维品质。
中考数学，代数综合题，典型例题分析2：
如图，抛物线y＝（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）
（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．
考点分析：
二次函数综合题.
题干分析：
（1）由抛物线y＝（x+1）2+k与y轴交于点C（0，－3），即可将点C的坐标代入函数解析式，解方程即可求得k的值，由抛物线y＝（x+1）2+k即可求得抛物线的对称轴为：x＝－1；
（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求得A与C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则可求得此时点P的坐标；
（3）①设点M的坐标为：（x，（x+1）2－4），即可得S△AMB＝1/2×4×|（x+1）2－4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②如图3，设点M的坐标为：（x，（x+1）2－4），然后过点M作MD⊥AB于D，由S四边形ABCM＝S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标。
解题反思：
此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形与四边形的面积问题以及线段和最短问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用。
很多考生只知道方程，却忽视方程思想的积累，如果遇到此类问题，就会造成思维上的“短路”，很可能找不到解题思路，无法正确解决问题。
要想正确解决代数综合题，大家一定要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破。
在一些复杂的中考代数综合题里，命题老师往往会在此类试题中设计一些审题障碍或解题陷阱，既能考查同学们的基础知识是否全面、基本功是否扎实，又能考查同学们的数学思维是否缜密，还能考查同学们的数学思想方法和数学能力是否达标。
如果考生答题过于随意，或是知识掌握不扎实，很容易落入题中的圈套或陷阱，造成失分。
中考数学，代数综合题，典型例题分析3：
如图，已知点O（0，0），A（﹣5，0），B（2，1），抛物线l：y=﹣（x﹣h）2+1（h为常数）与y轴的交点为C．
（1）l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；
（2）设点C的纵坐标为yc，求yc的最大值，此时l上有两点（x1，y1），（x2，y2），其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小；
（3）当线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值．
解：（1）把点B的坐标B（2，1）代入y=﹣（x﹣h）2+1，
得1=﹣（2﹣h）2+1．
解得h=2．
则该函数解析式为y=﹣（x﹣2）2+1（或y=﹣x2+4x﹣3）．
故抛物线l的对称轴为x=2，顶点坐标是（2，1）；
（2）点C的横坐标为0，则yC=﹣h2+1．
当h=0时，yC=有最大值1，
此时，抛物线l为：y=﹣x2+1，
对称轴为y轴，开口方向向下，
所以，当x≥0时，y随x的增大而减小，
所以，x1＞x2≥0，y1＜y2；
（3）∵线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4，
且O（0，0），A（﹣5，0），
∴把线段OA被l只分为两部分的点的
坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．
把x=﹣1，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，
得0=﹣（﹣1﹣h）2+1，
解得h1=0，h2=﹣2．
但是当h=﹣2时，
线段OA被抛物线l分为三部分，不合题意，舍去．
同样，把x=﹣4，y=0代入y=﹣（x﹣h）2+1，
得h=﹣5或h=﹣3（舍去）．
综上所述，h的值是0或﹣5．
考点分析：
二次函数综合题．
题干分析：
（1）把点B的坐标代入函数解析式，列出关于h的方程，借助于方程可以求得h的值；利用抛物线函数解析式得到该图象的对称轴和顶点坐标；
（2）把点C的坐标代入函数解析式得到：yC=﹣h2+1，则由二次函数的最值的求法易得yc的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据抛物线的增减性来求y1与y2的大小；
（3）根据已知条件“O（0，0），A（﹣5，0），线段OA被l只分为两部分，且这两部分的比是1：4”可以推知把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是（﹣1，0），（﹣4，0）．由二次函数图象上点的坐标特征可以求得h的值．
解题反思：
本题考查了二次函数综合题．该题涉及到了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点，综合性比较强，难度较大。解答（3）题时，注意对h的值根据实际意义进行取舍。
代数综合题既能考查学生阅读理解、接受新知识、认识新事物的能力，又能考查学生知识掌握情况，在中考数学中占有相当高的比重，大家一定要认真对待。解决代数综合题，大家要学会全面地分析问题，掌握一些解题技巧或套路，慢慢就能掌握好解题思路。
联系客服
