非线性泛函分析

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本系列通过非线性泛函分析主要讲的半序方法、拓扑方法、变分方法、抽象空间微分方程理论以及它们对于各种非线性方程的应用。

教师团队

王志强 副所长

单位：南开大学

部门：陈省身数学研究所

职位：副所长

半序空间与向量格

如果实线性空间E的某些元素偶（x，y）之间有关系x≥y，并存在①序关系；x≥x，又 x≥y 且 ，x≥y 且 ；②,x≥y,；则称E为半序线性空间。若进而还有③格关系:对x、y∈E恒有z∈E,使x≤z且y≤z，又x≤u，。就称E为向量格或里斯空间，且记③中之z为x∨y。

一般对具有性质①的集合，称为按关系≥是半序的，而上述性质②则意在线性结构与序结构的协调。

向量格实例 ①设CR(Ω)是紧豪斯多夫空间Ω上全体实值连续函数，其上的加法与数乘如通常定义。对 x、y∈C(Ω)定义,当t∈Ω。这时(x∨y)（t）=max{x（t），y（t）},易见 CR(Ω)是向量格。②设（x,B）是可测空间。设V是全体在(x,B)上有限的,完全可加的集合函数。对μ1,μ2∈V 及实数α定义,E∈B;,E∈B,α是实的;,E∈B。这时， 　当E∈B。可以证明,V是向量格。③对希尔伯特空间H上有界线性算子A与B,如果对任何有界的T使AT=TA皆有BT=TB，则称B堻堻A。设 A是H上给定的有界自伴算子,令RA={H；BA},定义，当x∈H,则对有。这里而且C≥0，可以证明RA是向量格。 　向量格的性质 　在向量格中定义 ，x_=(-x)∨0,|x|=x∨(-x)依次称为x的正部分、负部分、绝对值。在向量格中,每个元x都有若尔当分解。这是有界变差函数以及抽象测度论中的结果的推广。 　对向量格E中的一族元素,若有x∈E，使得x≥xα对一切α∈A成立,又任何y≥yα对一切，则称x为之上确界，记作。同样,可定义下确界在一般的向量格中，上方有界的点列未必有上确界。如果对Χ之任何上方有界点列，必有上确界，则称Χ 为σ-完备的。前述之向量格V与RA都是σ-完备的。 　对E中的点列，若有单调递减的点列wn使得，而，则称xn序收敛于x0，记作。 　设Χ为实的巴拿赫空间。如果Χ还是一个向量格，而且，则称Χ为巴拿赫格。这是线性关系,格序关系以及范数的结合。 　利用格序关系与序收敛，对σ-完备的向量格 Χ可定义绝对连续元素与奇异元素,从而将拉东-尼科迪姆定理推广成:Χ的每个元都可唯一地表示成绝对连续元与奇异元的和。又对某些σ-完备向量格中之元α,可唯一地确定一个单位分解{eλ;-∞<λ<∞}，使，从而将自伴算子谱分解定理推广到适当的 σ- 完备向量格上。设Χ为巴拿赫格,如果还有x≥0,，则称Χ为抽象L1空间。可以证明有测度空间Ω使得这种Χ线性的，保范序同构于L(Ω),同样也可用格序关系与范数刻画Lp(Ω)与C(K),这里K是紧空间。

变分法

变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A到达不直接在它底下的一点B。在所有从A到B的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。

变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。

变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。

同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau问题。

抽象空间微分方程

巴拿赫空间中的微分方程。是常微分方程理论在无限维空间中的发展，研究可数无穷个常微分方程、泛函微分方程需要巴拿赫空间或希尔伯特空间的理论。它也是用常微分方程的思想和方法，研究偏微分方程的重要工具。

设Χ是巴拿赫空间，D是Χ中的开集，J是实轴上的开区间，函数?∶J×D→Χ是连续的。微分方程 k=1,2,3,4....　 （1）

是常微分方程组在巴拿赫空间X 中的自然推广。设开区间（α,β）嶅J，φ:（α，β）→Χ是强可微的，并且在开区间（α，β）中成立恒等式

就称 x=φ（t）是微分方程（1）的解。

解的存在性 当?关于 x满足李普希茨条件（见常微分方程初值问题）时，利用逐次逼近法可以证明：对于给定的初值（t0,x0）∈J×D，微分方程（1）满足初值条件

（2）的解存在且唯一。然而,和常微分方程组的情形不同,仅有? 的连续性不足以保证微分方程（1）满足初值条件（2）的解的存在性。例如，设с0表示满足 的数列全体所成的空间,它的元素x的范数（见巴拿赫空间）为‖x‖=sup│xk│。 在空间с0中考察含无穷个方程的常微分方程组 （3）初值条件为 　 （4）显然，（3）的右端?是с0上的连续函数。但是,在с0中不存在方程（3）满足初值条件（4）的解。为了推广柯西—皮亚诺定理（见常微分方程初值问题）到巴拿赫空间中的微分方程（1），需要利用有界集的非紧性测度。设B是有界集,它的非紧性测度是α（B）=inf{d>0：能用有限个直径小于d的集覆盖B}。如果?:J×D→Χ连续,并且对于D的任一有界子集B 成立关系式 α（?（J，B））≤ω（α（B）），其中ω:【0,+）→【0,+）连续,而常微分方程的以（t0,0）为初值的唯一解是ρ 呏0；那么微分方程（1）以（t0，x0）∈J×D为初值的解是存在的。它的证明需要利用绍德尔不动点定理（见不动点理论）。 　许多有关常微分方程组的定理，诸如初值问题解的唯一性定理等,都可移到巴拿赫空间中的微分方程（1）。 　线性方程 　当?（t,x）呏A（t）x+b（t）时，方程（1）成为线性方程 （5）M.Γ.克列因、J.L.马塞拉等曾讨论A:J→L（Χ）,b∶J→Χ连续的情形，其中L（Χ）表示 X上有界线性算子（见线性算子）。这时，方程（5）以（t0,x0）∈J×D为初值的解存在且

唯一，并且在J上成立常数变易公式 式中U（t,s）∈L（Χ），满足关系:U（t,τ）U（τ,s）呏U（t,s），U（s,s）呏I和称 U（t,s）是相应于（5）的发展算子。特别,当A（t）呏A是Χ上的线性有界算子时,克列因还讨论了A（·）具有周期ω的情形，推广了周期系数线性常微分方程组的理论。对于非线性微分方程 （6）假设g:J×Χ→Χ连续， J=【0,+）,人们还讨论了零解的稳定性，推广了A.M.李亚普诺夫关于稳定性的有关结果（见常微分方程运动稳定性理论）。 　但是，对于偏微分方程，例如热传导方程 （7）不能化为具有有界算子A（t）的线性方程（5）。若以 H姲表示区间【0,1】上一阶导数平方可积且在0和1取值为0的实连续函数全体当赋以范数 时所构成的希尔伯特空间，又记x（t）=u（t，·）,b（t）=b（t,·）,而当u（s）二阶导数平方可积时,那么（7）可以化为Χ =H姲上的线性方程 　 　 （8）但这里，A是 H姲上的无界线性算子。因此，在无限维空间中有必要研究A为无界算子时的线性方程（8）。 　设线性算子A的定义域D（A）是Χ中的稠密集,A还是闭算子，如果当λ>β时A的预解算子（λI-A）-1（见线性算子）是Χ上的有界线性算子，并且成立不等式 其中M>0是常数，那么根据希尔-吉田耕作定理,A是Χ上的线性有界算子半群T（t）（t≥0）的母元。如果 b:J→Χ强可微，可以证明：常数变易公式 （9）给出微分方程（8）的解。由它可得热传导方程、波动方程等解的公式。当b:J→Χ是博赫纳可积时,表达式（9）的右端是强连续的，称为（8）的软解。 　加藤敏夫、田辺広城以及∏.E.索伯列夫斯基等还讨论了A（t）是Χ上的无界线性算子时的微分方程（5），给出了发展算子U（t,s）存在以及常数变易公式成立的条件。 　为适应非线性抛物型偏微分方程理论、分布参数系统、控制理论等的需要，人们又进一步讨论了半线性发展方程 （10）式中A（t）是Χ上的无界线性算子,?：J×D →Χ是连续的；还研究了非线性压缩半群所产生的非线性方程。 　在抽象空间微分方程研究中，除解的存在性、唯一性、解对初值的连续性、常数变易公式外，还有人研究周期解的存在性、唯一性，解的稳定性，分歧现象等等问题，并且研究解的全局结构、高阶微分方程等。 　关于解的概念，除前述的以强导数为依据的解的概念外，还有以弱导数为基础的弱解的概念等。

参考教材

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