在第2章中，我们能够通过识别它们为可分离、线性、恰当或具有齐次系数的一阶微分方程来解决一些问题。尽管得到的解是单参数族的形式，但除了一个例外，这个族并不能表示微分方程的通解。回顾一下，通解是指一组解的集合，这些解定义在包含所有在该区间上定义的微分方程解的某个区间 上。只有在线性一阶微分方程的情况下，我们能够通过密切关注方程中系数所施加的某些连续性条件来获得通解。因为我们在本章的主要目标是找到线性高阶微分方程的通解，所以我们首先需要研究一些线性方程的基本理论。
在第1.2节中，我们为一般的 阶微分方程定义了一个初值问题。对于线性微分方程， 阶初值问题（IVP）可以表示为：
回想一下，对于这样的问题，我们寻找一个在包含 的某个区间 上定义的函数，满足微分方程和在 处指定的 个初值条件：。我们已经看到，在二阶初值问题的情况下，解曲线必须通过点 并且在该点的斜率为 。
在第1.2节中，我们陈述了一个定理，它给出了保证一阶初值问题的解的存在性和唯一性的条件。接下来的定理给出了问题（1）存在唯一解的充分条件.
设 和 在区间 上连续，并且对于该区间上的每个 ，都有 。如果 是该区间上的任意一点，那么初值问题（1）的解 在该区间上存在且唯一。
初值问题
具有平凡解 。因为这个三阶方程是带有常系数的线性方程，所以它满足定理 4.1.1 的所有条件。因此，在包含 的任何区间上， 是唯一的解。
您应该验证函数 是初值问题的解
现在，微分方程是线性的，系数以及 都是连续的，而且在包含 的任何区间 上都有 。根据定理 4.1.1，我们得出给定函数是 上的唯一解。
定理 4.1.1 中的要求，即 都要连续，以及 对于 中的每个 都是重要的。具体来说，如果在区间中存在某个 ，使得 ，则线性初值问题的解可能不唯一，甚至可能不存在。例如，您应该验证函数 是初值问题的解
对于参数 的任何选择，都在区间 上。换句话说，问题没有唯一解。虽然大多数定理 4.1.1 的条件都得到了满足，但明显的困难是 在 处为零，而且初始条件也在 处施加。
另一种问题类型涉及解决二阶或更高阶线性微分方程，在其中因变量 或其导数在不同点上被指定。一个问题，例如
被称为边值问题（BVP）。规定的值 和 称为边界条件（BC）。上述问题的解是一个在包含 和 的某个区间 上满足微分方程的函数，其图形通过两点 和 。请参见图 .
对于二阶微分方程，其他边界条件对可以是
其中 和 表示任意常数。这三对条件只是一般边界条件的特殊情况
下一个示例说明，即使满足定理 4.1.1 的条件，边值问题可能有多个解（如图中所示），唯一解，或根本没有解。
我们看到微分方程 的两参数解族为
现在假设我们希望确定满足边界条件 的方程的解。观察到第一个条件 意味着 ，因此 。但是当 时， 对于任何 的选择都成立，因为 。因此，边值问题
具有无限多个解。下图显示了通过两点 和 的一参数族 的一些成员的图形。
如果边值问题（3）改为
那么仍然需要在解（2）中满足 的条件 。但是将 应用到 要求 。因此， 是这个新边值问题的解。实际上，可以证明 是（4）的唯一解。
最后，如果我们将问题改为
再次从 得出 ，但将 应用到 会导致矛盾，即 。因此，边值问题（5）没有解。
形式如下的线性 阶微分方程
被称为齐次方程，而方程
其中 不恒等于零，被称为非齐次方程。例如， 是一个齐次线性二阶微分方程，而 是一个非齐次线性三阶微分方程。在这个语境中，齐次不是指系数是齐次函数，就像在第2.5节中一样。
我们将看到，要解非齐次线性方程（7），我们必须首先能够解出相关的齐次方程（6）。
为了避免在本文的其余部分中不必要地重复，当陈述关于线性方程（1）的定义和定理时，我们将默认进行以下重要假设：
在微积分中，微分通常用大写字母 表示，即 。符号 被称为微分算子，因为它将一个可微函数转换为另一个函数。例如， 和 。高阶导数可以以 的形式自然地表示为：
其中 表示足够可微的函数。涉及 的多项式表达式，如 和 ，也是微分算子。一般来说，我们定义一个 阶微分算子或多项式算子为
由于微分的两个基本性质， 是常数，以及 ，微分算子 具有线性性质；即， 作用于两个可微函数的线性组合与分别作用于这些函数的线性组合相同。用符号表示，这意味着
其中 和 是常数。由于（9），我们说 阶微分算子 是一个线性算子。
任何线性微分方程都可以用 符号表示。例如，微分方程 可以写成 或 。利用 ，我们可以将线性 阶微分方程 和 简洁地写为
分别对应于齐次方程和非齐次方程。
在下一个定理中，我们看到齐次线性微分方程的两个或更多解的和，或叠加，也是一个解。
设 是在区间 上的齐次 阶微分方程 的解。那么线性组合
其中 是任意常数，也是该区间上的解。
证明: 对 的情况进行证明。设 是在 中定义的微分算子， 和 是齐次方程 的解。如果我们定义 ，则由于 的线性性质，我们有
对于齐次线性微分方程的解 ，常数倍 也是一个解。
齐次线性微分方程总是有平凡解 。
函数 和 都是在区间 上满足齐次线性方程 的解。根据叠加原理，线性组合
也是在该区间上满足方程的解。 函数 是方程 的解。由于这个微分方程是线性齐次的，常数倍数 也是解。对于不同的 值，我们可以看到 都是方程的解。
这两个概念对于线性微分方程的研究非常基础。
一组函数 被称为在区间 上线性相关，如果存在常数 ，不全为零，使得
对于该区间内的每个 成立。如果这组函数在该区间上不线性相关，则称其为线性无关。 换句话说，一组函数在区间 上线性无关，如果唯一满足
对于该区间内的每个 的常数是 。
理解这些定义对于由两个函数 和 组成的集合是很容易的。如果函数集在某个区间上线性相关，那么存在不全为零的常数 和 ，使得对于该区间内的每个 ，。因此，如果我们假设 ，则有 ；也就是说，如果两个函数的集合线性相关，那么一个函数就是另一个的常数倍。相反，如果 对于某个常数 成立，那么对于该区间内的每个 ，。因此，这组函数是线性相关的，因为至少有一个常数（即，）不为零。我们得出结论，在区间上，由两个函数 和 组成的集合是线性无关的，当且仅当它们在该区间上不是彼此的常数倍。
例如，函数集 在 上是线性相关的，因为 是 的常数倍。从正弦的双角公式 可知这一点。另一方面，函数集 在 上是线性无关的。通过观察图像，您会认识到在该区间内，它们两者都不是彼此的常数倍。
从前面的讨论可以得出，如果在一个区间上集合 是线性无关的，那么商 不是一个常数。这个小事实将在下一节中用到。
函数集
在区间 上是线性相关的，因为
对于区间内的每个实数 ，当 时，函数集合成立。在这里我们使用了 和 。
如果一个包含 个函数 的集合在区间 上是线性相关的，那么至少有一个函数可以表示为其余函数的线性组合。例如，对于三个函数 和 ，如果其中至少一个函数是其他两个的线性组合，比如
对于区间 上的所有 成立，则它们在 上是线性相关的。而如果没有一个函数可以表示为其他函数的线性组合，那么这个包含 个函数的集合在 上是线性无关的。函数集
在区间 上是线性相关的，因为 可以表示为 和 的线性组合。观察到
对于区间 上的每个 都成立。我们主要关注线性无关的函数，或者更准确地说，线性齐次线性微分方程的线性无关解。虽然我们可以直接参考定义 4.1.1，但事实证明，对于齐次线性 阶微分方程的 个解 是否线性无关的问题可以通过使用行列式来机械地解决。
假设每个函数 至少具有 阶导数。行列式
其中撇号表示导数，被称为这些函数的朗斯基行列式。
朗斯基行列式的名称来源于波兰哲学家和数学家 Jósef Maria Hoëné-Wronski（1778-1853）。
设 是齐次线性 阶微分方程（6）在区间 上的 个解。那么在区间 上，解的集合是线性无关的，如果且仅如果对于该区间内的每个 ，。
根据定理 4.1.3，当 是方程 (6) 在区间 上的 个解时，朗斯基行列式 要么恒等于零，要么在该区间上从不为零。因此，如果我们可以证明在区间 中存在某个 ，使得 ，那么解 在区间 上是线性无关的。例如，函数
是微分方程
在区间 上的解。注意到系数函数 和 在 上是连续的，并且对该区间内的每个 都有 。朗斯基行列式为
而不是直接展开这个繁杂的行列式，我们选择在区间 中取 ，得到
事实上， 已足够说明 和 在区间 上是线性无关的。
齐次线性 阶微分方程的 个线性无关解集合被赋予一个特殊的名称。
在区间 上，任何一组由 个线性无关解 组成的齐次线性 阶微分方程 的解集被称为该区间上的基础解集。
下一个定理回答了是否存在一个线性方程的基础解集的基本问题。
对于区间 上的齐次线性 阶微分方程 (6)，存在一个基础解集。
类似于三维空间中的任何向量都可以表示为线性无关向量 的线性组合的事实，区间 上的 阶齐次线性微分方程的任何解都可以表示为 上的 个线性无关解的线性组合。换句话说， 个线性无关解 是该方程通解的基本组成部分。
设 是在区间 上的齐次线性 阶微分方程 的基础解集。那么该方程在该区间上的一般解为
其中 是任意常数。 定理 4.1.5 声明，如果 是方程 在该区间上的任何解，那么总可以找到常数 使得
我们将证明 的情况。
证明: 设 是一个解， 和 是在区间 上的 的线性无关解。假设 是 中的一个点，满足 。还假设 和。现在，如果我们考虑以下方程组
那么根据行列式的性质，我们可以唯一确定 和 ，前提是系数行列式满足
但是这个行列式实际上就是在 处计算的朗斯基行列式，根据假设，。如果我们定义 ，我们可以观察到 满足微分方程，因为它是两个已知解的叠加； 满足初始条件
而 也满足相同的线性方程和相同的初始条件。由于这个线性初值问题的解是唯一的（定理 4.1.1），我们有 或 。
函数 和 都是在区间 上齐次线性方程 的解。通过观察，这些解在 轴上线性无关。这个事实可以通过观察朗斯基行列式
来证实，对于每个 都成立。我们得出结论， 和 构成了一组基础解集，因此方程在该区间上的一般解为 .
函数 是示例 7 中微分方程的解（请验证）。根据定理 4.1.5，我们必须能够从一般解 中获得这个解。观察到如果我们选择 和 ，那么 可以重写为
最后一个表达式写为
函数 ， 和 都满足三阶方程 。由于对于每个实数 ，朗斯基行列式
这意味着函数 、 和 在 上构成一组基本解集。我们得出结论，在该区间上， 是该微分方程的一般解。
满足方程 且不含任意参数的任何函数 被称为方程的特解。例如，很容易证明常数函数 是非齐次方程 的一个特解。
现在，如果 是在区间 上方程 的解， 是 上方程 的任何特解，那么线性组合
也是非齐次方程 的解。如果仔细思考，这是有道理的，因为线性组合 被操作符 变换成了 0，而 被变换成了 。如果我们使用 个线性无关的 阶方程 的解，那么式 中的表达式就成为了方程 的一般解。
设 是在区间 上非齐次线性 阶微分方程 的任意特解，并且 是在 上相关齐次微分方程 的一组基本解。那么方程在该区间上的一般解为
其中 为任意常数。
证明: 让 是式 中定义的微分算子，令 和 是非齐次方程 的特解。如果我们定义 ，那么由于 的线性性质，我们有
这表明 是齐次方程 的解。因此根据定理 4.1.5，，所以
我们在定理 4.1.6 中看到，非齐次线性方程的一般解由两个函数的和组成：
线性组合 ，即齐次方程 的通解，被称为方程 的互补函数。换句话说，要解非齐次线性微分方程，我们首先解相关的齐次方程，然后找到非齐次方程的任意特解。然后，非齐次方程的通解为
通过代入函数 ，可以轻松地证明它是非齐次方程
的一个特解。要写出方程 的一般解，我们还必须能够解关联的齐次方程
但在例 9 中，我们看到该方程在区间 上的一般解为 。因此，在该区间上，方程 的一般解为
这讨论的最后一个定理将在第 4.4 节中的非齐次方程的特解求解方法中非常有用。
设 是非齐次线性 阶微分方程 在区间 上的 个特解，分别对应于 个不同的函数 。即，假设 表示相应微分方程的一个特解
其中 。那么
是方程
的一个特解。
证明: 我们证明 的情况。设 是在 中定义的微分算子， 和 是非齐次方程 和 的特解。如果我们定义 ，我们希望证明 是非齐次方程 的一个特解。结果再次由算子 的线性性质得到：
您应该验证以下情况 是方程 的一个特解， 是方程 的一个特解， 是方程 的一个特解。 根据定理 4.1.7 的 ， 和 的叠加
是方程
如果 是方程 的特解，其中 ，那么线性组合
其中 是常数，当方程的右侧为线性组合
时，也是方程 的一个特解。在实际开始解齐次和非齐次线性微分方程之前，我们需要了解下一节中提到的一些附加理论。
这个备注是在第1.3节末尾对动力系统的简要讨论的延续。
一个动力系统，其规则或数学模型是一个线性 阶微分方程
被称为 阶线性系统。这个系统有 个依赖于时间的函数 ，它们是系统的状态变量。请注意，它们在某个时间 的值描述了系统的状态。函数 被称为输入函数或强制函数。微分方程的解 被称为系统的输出或响应。在定理 4.1.1 中所述的条件下，输出或响应 是由在时间 指定的输入和系统状态唯一确定的 ——也就是由初始条件 确定的。
要使一个动力系统成为线性系统，必须满足系统中的叠加原理（定理 4.1.7）；也就是说，系统对输入的叠加的响应是输出的叠加。我们已经在第 3.1 节中研究了一些简单的线性系统（线性一阶方程）；在第 5.1 节中，我们将研究数学模型为二阶微分方程的线性系统。
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