高考倒计时 | 每日一道高考题，助力高考得高分（43）

 本周更新理数，下周更新文数

小数老师说：

今天带来一道函数题

21．已知函数．

（1）当a=1时，∃x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，求实数m的取值范围；

（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．

先自己思考

本题考点

利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

题目分析

（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m转化为f（x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m即可．

（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．

题目解析

解：（I）当a=1时，，

可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，

最小值为

，

要使∃x₀∈[1，e]使不等式f（x₀）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，

故实数m的取值范围是

（2）已知函数

．

若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，

等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，

即

恒成立．

设

．

即g（x）的最大值小于0.

（1）当

时，

，

∴

为减函数．

∴g（1）=﹣a﹣≤0

∴a≥﹣

∴

（2）a≥1时，

．

为增函数，

g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．

（3）当

时，g（x）在

上为减函数，在

上为增函数，

同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是

．

本题点评

本题是考察函数性质的综合题，是高考必考点，大家要认真做