数学期望[shù xué qī wàng]
是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和，是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。
——百度百科
什么，太专业了？好吧，我们先来了解一个故事。
赌徒与数学家
在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励。当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？
输掉比赛 | 赢得比赛 | |
甲 | (1/2)x(1/2)=1/4 | 1-(1/4)=3/4 |
乙 | 3/4 | 1/4 |
可见，虽然不能再进行比赛，但依据上述可能性推断，甲乙双方最终胜利的客观期望分别为75%和25%，因此甲应分得奖金的100*75%=75(法郎)，乙应分得奖金的的100×25%=25(法郎)。这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来。
期望值是基础概率学的升级版，是所有管理决策的过程中，尤其是在金融领域是最实用的统计工具。某个事件（最初用来描述买彩票）的期望值即收益，实际上就是所有不同结果的和，其中每个结果都是由各自的概率和收益相乘而来。
假设你参与了一个掷骰子的游戏，游戏规定掷出1点可以获得1元，2点可以获得2元，以此类推。那么在这个游戏中，掷一次骰子的期望值是多少?每一个结果都有1/6的概率，因此期望值为：
大致一看，3.5元似乎是一个无效数据，毕竟你不可能掷一次骰子就获得3.5元，但事实上，期望值是一个非常有用的参考数据，通过比较成本投入和期望收益，你就能知道做这件事是不是“值得”。比如，还是上述的掷骰子游戏，每玩一次需要缴纳3元，你还玩吗？当然，因为期望回报（3.5元）会高于游戏成本（3元）。这虽然并不代表你每一次玩都能保证赚到钱，但至少可以帮助你认清哪些事情值得冒险。
概率论里有一个与期望相关的定律叫做大数定律，即随着实验次数的增多，结果的平均值会越来越接近期望值。大数定律可以解释很多问题，比如为什么赌场从长期来看总是挣钱：赌场内所有项目的概率都是有利于赌场老板的（出“老千”的赌客不考虑在内）。如果赌场的营业时间足够长，吸引到下注人数也足够多，那么赌场从赌桌赚到的钱肯定要比付出的多。
再比如保险行业。整个保险行业都是建立在概率的基础之上，公司愿意承担风险的原因很简单：如果保险公司制定的保费标准正确合理，从长期来看将会给公司带来不菲的收益。假设车的赔偿额度为20万元，每年被盗的概率是万分之一，那么该车的年预期损失为20元，车险保费组成中盗窃险种的定价就应该高于20元，虽然需要付出，但从长期来看，得到的肯定要比付出的多。从统计学的角度来看，购买保险绝对是一个“糟糕的投资”，但保险能为你做的是，在你遭遇一些难以承受的巨大损失时，为你提供赔付，帮你渡过难关。
当然，比较讽刺的是，一些巨富如巴菲特倒是可以不用购买任何保险从而省下不少的钱，因为就算有再糟糕的事情发生，他都能承受得起。
参考资料
1.曹小玲. 浅谈概率论中“数学期望”概念的讲解[J]. 教育教学论坛, 2014(45):199-201.
2.Charles Wheelan．Naked Statistics：中信出版社，2013
听了这么多，相必大家都会联想到以“赌博”起源的一门学科——概率论。
是的，重点来啦！！！
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文案 | MOOC概率论课程组 杨濯
排版 | 新媒体部 高伟
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