函数的基本性质

一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。

定义：（略）

定理1： 那么

上是增函数；

上是减函数.

定理2：（导数法确定单调区间） 若 ，那么

上是增函数； 上是减函数.

1.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法)   (2)作商法   (3)导数法

 

2.复合函数的单调性的判定

对于函数 和 ，如果函数 在区间 上具有单调性，当 时 ，且函数 在区间 上也具有单调性，则复合函数 在区间 具有单调性。

3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：

(1)当 和 具有相同的增减性时，

① 的增减性与 相同，

② 、 、 的增减性不能确定；

(2)当 和 具有相异的增减性时，我们假设 为增函数， 为减函数，那么：

① 的增减性不能确定；

② 、 、 为增函数， 为减函数。

4.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性

函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。

1.函数 的图象的对称性（自身）:

定理1: 函数 的图象关于直 对称

特殊的有：

①函数 的图象关于直线 对称 。

②函数 的图象关于 轴对称（奇函数） 。

③函数 是偶函数 关于 对称。

定理2：函数 的图象关于点 对称

特殊的有：

①     函数 的图象关于点 对称 。

②     函数 的图象关于原点对称（奇函数） 。

③     函数 是奇函数 关于点  对称。

定理3：（性质）

①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2| a－b|是其一个周期。

④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。

2.两个函数图象的对称性:

①函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.

②函数 与函数 的图象关于直线 对称.

特殊地: 与函数 的图象关于直线 对称

③函数 的图象关于直线 对称的解析式为

④函数 的图象关于点 对称的解析式为

⑤函数y = f (x)与a－x = f (a－y)的图像关于直线x +y = a成轴对称。

函数y = f (x)与x－a = f (y + a)的图像关于直线x－y = a成轴对称。

函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。

3．奇偶函数性质

对于两个具有奇偶性的函数 和 ，若它们的定义域分别为 和 ，且 ：

（1）满足定义式子 （偶） （奇）

（2）在原点有定义的奇函数有

(3)当 和 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：

①函数 、 也为奇函数；

简单地说：

奇函数±奇函数=奇函数，

偶函数±偶函数=偶函数，

奇函数×奇函数=偶函数，
偶函数×偶函数=偶函数，
奇函数×偶函数=奇函数.

 

② 、 为偶函数；

③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数

(4)当 和 具有相异的奇偶性时，那么：

① 、 的奇偶性不能确定；

② 、 、 为奇函数。

 

（6）任意函数 均可表示成一个奇函数 与一个偶函数 的和。

（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数

（8）图形的对称性  关于 轴对称的函数（偶函数）关于原点 对称的函数（奇函数）

（9）若 是偶函数，则必有

     若 是奇函数，则必有

（10）若 为偶函数，则必有

      若 是奇函数，则必有

（11）常见的奇偶函数

三、函数的周期性

函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。

1.周期性的定义

对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有 都成立，那么就把函数 叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数 是函数 的周期，那么 、 （ ）也是函数 的周期。

2. 函数的周期性的主要结论：

结论1：如果 （ ），那么 是周期函数，其中一个周期

结论2：如果 （ ），那么 是周期函数，其中一个周期

结论3：如果定义在 上的函数 有两条对称轴 、 对称，那么 是周期函数，其中一个周期

结论4：如果偶函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，其中一个周期

结论5：如果奇函数 的图像关于直线 （ ）对称，那么 是周期函数，其中一个周期

结论6：如果函数同时关于两点 、 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，其中一个周期

结论7：如果奇函数 关于点 （ ）成中心对称，那么 是周期函数，其中一个周期

结论8：如果函数 的图像关于点 （ ）成中心对称，且关于直线 （ ）成轴对称，那么 是周期函数，其中一个周期

结论9：如果 或 ，那么 是周期函数，其中一个周期

结论10：如果 或 ，那么 是周期函数，其中一个周期

结论11：如果 ，那么 是周期函数，其中一个周期

 

 

例1：定义在R上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（   ） （第十二届希望杯高二 第二试题）

(A)是偶函数，也是周期函数        (B)是偶函数，但不是周期函数

(C)是奇函数，也是周期函数        (D)是奇函数，但不是周期函数

解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).

∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。

故选(A)               

例6.求证:若 为奇函数，则方程 =0若有根一定为奇数个。

证:   为奇函数   - =

2 =0                即 =0是方程 =0的根

若 是 =0的根，即 =0                由奇数定义得 =0

也是方程的根

即方程的根除 =0外成对出现。

方程根为奇数个。                                                                             

 

例2：设定义域为R的函数y = f (x)、y = g(x)都有反函数，并且f(x－1)和g^-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

（A）    1999； （B）2000； （C）2001；（D）2002。

解：∵y = f(x－1)和y = g^-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，

∴y = g^-1(x－2) 反函数是y = f(x－1)，而y = g^-1(x－2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001

故f(4) = 2001,应选（C）

例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，

f (x) = － x，则f (8.6 ) = _________   （第八届希望杯高二 第一试题）

解：∵f(x)是定义在R上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；

又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3

例4. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x≤1时，

f (x) = x，则f (7.5 ) = （  ）

  (A)  0.5            (B)  －0.5             (C) 1.5                 (D) －1.5

解：∵y = f (x)是定义在R上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；

   又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数。

   ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)

 

 

 

 

 

 

一、 反函数的性质和应用

（1）定义域值域相反    （2）图象关于 对称  （3）具有相同的单调性、奇偶性

（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数       （5）原函数过 则反函数过 反之亦然

（6） ， ，但 仅当 才成立

（二）奇偶函数性质

（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有 （3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数 均可表示成一个奇函数 与一个偶函数 的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性

（三）   周期性：定义、判断

常见具有周期性的函数      或

（四）   对称性：判断、性质

（1）一个函数的对称性：

1、函数 关于 对称 或  或    显然： 特殊的有偶函数关于y（即x=0）轴对称，则有关系式 ；一般的有 ，函数 关于直线  对称

2、函数 关于点 对称

或 显然特殊的有奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式

一般的有 ，函数 关于点  对称

3、函数自身不可能关于 对称，曲线则可能

（2）两个函数的对称性：

1、    与 关于X轴对称。

2、    与 关于Y轴对称。

3、    与 关于直线 对称。

4、    与 关于直线 对称。

5、    关于点(a,b)对称。

6、 与 关于直线 对称。

7、 关于直线 对称

（四）三性的综合应用

（08湖北卷6）已知 在R上是奇函数，且 A

  A.-2                 B.2                 C.-98            D.98

（08四川卷）函数 满足 ，若 ，则 ( C )

（Ａ） 　　     （Ｂ） 　　       （Ｃ） 　　      （Ｄ）

（2010安徽理数）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则 的值为（    ）A、        B、1         C、        D、2

（09江西卷）已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当 时， ，则 的值为 ( C    )

A． 　　　     B． 　　     　C． 　　　   　D．

 

 

(09东兴十月)定义在R上的函数 的图象关于点 对称，且满足 ， ， ，则 _______

 

 

 

2009广东三校一模）定义在 上的函数 是奇函数又是以 为周期的周期函数,则

等于                 (  B  )

A.-1              B.0               C.1          D.4    

（2009全国卷Ⅰ理）函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数， 则 ( D   )          A、2009      B、-2009        C 、-2            D.、2

 

 

若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称，

∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：

f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）

又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称，

∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：

f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**），用2（a－b）－x代x得

f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：

f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a－b|是其一个周期。

例2. 是定义在R上满足 的函数且满足 若 时 则 时＿＿

,                              

-6

-3

O

3

6

1

Y

X

解：如图 函数在                                                                                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

知识点及方法

对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想

二次函数的对称性

1．     已知 是二次函数，图象开口向上, , 比较 大小。

 

 

2．     若二次函数 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较 的大小。

 

 

3．     二次函数 满足 ,求 的顶点的坐标。

 

 

4．     已知 ,且 .（1）写出 的关系式   （2）指出 的单调区间。

 

 

函数的对称性求解析式

1．  已知 是偶函数，当 时， ,求 的解析式.

 

 

2．  已知函数的 图象与函数 的图象关于原点成中心对称, 求 的解析式。

 

 

3．  设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，若当x￡1时，y=x²＋1，求当x>1时, ,f(x)的解析式.

 

 

4．  设 , 求 关于直线 对称的曲线的解析式.

 

 

5．  已知函数 是偶函数，且x∈(0,+∞)时有f(x)= , 求当x∈(－∞,－2)时, 求  的解析式.

 

 

6．  已知函数 是偶函数，当 时， 又 的图象关于直线 对称，求 在 的解析式.

 

 

7．   已知函数 ）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数 图象上A．   B．   C．   D．

8．  已知 是定义在R上的奇函数，当 时， ，那么不等式 的解集是（    ）

9．    设定义域为R的函数 满足以下条件；    ⑴ 对任意 ；    ⑵ 对任意 ，当 时，有 则以下不等式不一定成立的是（    ） A． B．

C．          D．

 

 

5、 已知定义在 上的函数 的图象关于点 对称，且 ， ， ，则 的值为（    ）

    A．          B．          C．0          D．1

7、已知函数 ，给出下列命题，

⑴ 不可能为偶函数；    ⑵ 当 时， 的图象必关于直线 对称；    ⑶ 若 0，则 在区间 上是增函数；    ⑷ 有最小值 ，其中正确命题的序号是______（将你认为正确的命题的序号都填上）．

9．已知函数f(x)=x+x³+x⁵，x_l，x₂，x₃∈R，且x_I+x₂＜0，x₁+x₃<0，x₂+x₃<0，则f(x₁)+f(x₂)+f(x₃)的值(B )

     A．大于0          B．小于0          C．等于0        D．不确定

10．函数 在区间 上有最小值，则函数 在区间 上一定             （ D）

    A．有最小值         B．有最大值          C．是减函数          D．是增函数

12．函数 ，若f（0）=3，且f（2 x）=f（x），则有（B　）

A. 　            B.

C. 　            D. 与 的大小不确定

14．函数 的单调递增区间为 ，那么实数a的取值范围是        （ A）

       A．                 B．                 C．                  D．

 

 

热点1 （图象与性质）．函数 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，0）∪（0，1]，则不等式 － ＞-1的解集是

A．      B.      

C.  D.

 

５．函数 的定义域为D： 且满足对于任意 ，有

（１）求 的值；

（２）判断 的奇偶性并证明；

（３）如果 上是增函数，求x的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

７．对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的“滞点”.已知函数 = .

(１)试问 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由；

 

 

 

 

 

 

 

８．已知 是定义在[－1，1]上的奇函数，且 ，若 ， 恒成立.

   （1）判断 在[－1，1]上是增函数还是减函数，并证明你的结论；

   （2）解不等式 ；

   （3）若 对所有 恒成立，求实数m的取值范围.

 

 

 

 

 

21．设函数 定义在R上，对于任意实数 、 恒有  当 时，

①求证：

②求证： 在R上递减；

③设集合

若  求 的取值范围．

 

 

 

 

 

23.已知函数 的定义域为R，对任意实数m、n都有 ，且 ，当 时， .（1）求 ；（2）求和 ；（3）判断函数 的单调性并证明。

 

 

 

 

 

22．设函数 的定义域为 且对任意的正实数 有 ，已知 且当 时 .

⑴求 的值；⑵试判断 在 上的单调性并证明；

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

（17）已知函数

（1）判断函数的单调性,并用定义证明;　　　（2）求函数的最大值和最小值.

 （19）（本小题满分12分）设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＜0.（1）证明：f(x)为奇函数；　　　　　（2）证明：f(x)在R上为减函数.

 

 

 

 

 

13.对于函数f(x)和g(x)，在公共的定义域内，规定f(x)*g(x)＝min{f(x),g(x)}，若f(x)＝3－x，g(x)＝ ，则f(x)*g(x)的最大值是＿＿＿＿。

变式：对于函数f(x)与g(x)，规定当f(x)≤g(x)时，f(x)·g(x)＝f(x)；当f(x)＞g(x)时，f(x)·g(x)＝g(x)。如果f(x)＝ ，g(x)＝3－x，则f(x)·g(x)的最大值为＿＿＿＿。