2024年高考数学一轮复习（新高考版） 第2章 §2-5 函数性质的综合应用[培优课]

§2.5　函数性质的综合应用

函数性质的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质特点，结合图象研究函数的性质，往往多种性质结合在一起进行考查．

题型一　函数的奇偶性与单调性

例1　(2020·新高考全国Ⅰ)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]∪[3，＋∞)

B．[－3，－1]∪[0,1]

C．[－1,0]∪[1，＋∞)

D．[－1,0]∪[1,3]

答案　D

解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，

则f(0)＝0.

又f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，

画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，

则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示．

　　　　                                   (1)　　　　　　　　　(2)

当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，

则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0.

当x>0时，要满足xf(x－1)≥0，

则f(x－1)≥0，得1≤x≤3.

故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．

思维升华　(1)解抽象函数不等式，先把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))，利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)．

(2)比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，进而利用其单调性比较大小．

跟踪训练1　(2023·合肥质检)若f(x)是定义在R上的偶函数，对∀x₁，x₂∈(－∞，0]，当x₁≠x₂时，都有>0，则a＝f(sin 3)，b＝f ，c＝f(2^1.5)的大小关系是(　　)

A．a>b>c                                           B．a>c>b

C．b>c>a                                           D．c>b>a

答案　A

解析　因为∀x₁，x₂∈(－∞，0]且x₁≠x₂时，有>0，

所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，

由f(x)为偶函数，得函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，

因为0<sin 3<1,1<ln 3<2,2<2^1.5，f ＝f(－ln 3)＝f(ln 3)，

所以f(sin 3)>f(ln 3)>f(2^1.5)，即a>b>c.

题型二　函数的奇偶性与周期性

例2　(2023·襄阳模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，则(　　)

A．f(6)<f(－7)<f 

B．f(6)<f <f(－7)

C．f(－7)<f <f(6)

D．f <f(－7)<f(6)

答案　B

解析　∵f(x＋2)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(6)＝f(2)＝－f(0)＝f(0)，f ＝f ＝－f ＝f ，f(－7)＝f(1)，

又当x∈[0,1]时，f(x)单调递增，

∴f(0)<f <f(1)，

即f(6)<f <f(－7)．

思维升华　周期性与奇偶性结合的问题多考查求函数值、比较大小等，常利用奇偶性和周期性将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，或已知单调性的区间内求解．

跟踪训练2　(2023·广州模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋1)＝f(x－1)，则f(2 021)＋f(2 022)等于(　　)

A．1  B．0  C．－2 021  D．－1

答案　B

解析　f(x＋1)＝f(x－1)，

∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)的周期为2，

∴f(2 021)＋f(2 022)＝f(1)＋f(0)，

又f(x)为定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，

又f(－1)＝－f(1)，且f(－1)＝f(1)，

∴f(1)＝0，

∴f(2 021)＋f(2 022)＝0.

题型三　函数的奇偶性与对称性

例3　(多选)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是(　　)

A．f(x＋2)＝f(x)

B．函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称

C．函数y＝f(x＋1)是偶函数

D．f(2－x)＝f(x－1)

答案　BC

解析　对于A选项，因为f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，

则f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝－f(x)，A错；

对于B选项，因为f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

因为f(－x)＋f(x)＝0，则f(－(2＋x))＋f(2＋x)＝0，

即f(2＋x)＝－f(－2－x)＝－f(2－x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，

故函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称，B对；

对于C选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，故函数y＝f(x＋1)是偶函数，C对；

对于D选项，因为f(1－x)＝f(1＋x)，则f(1－(x－1))＝f(1＋(x－1))，即f(2－x)＝f(x)≠f(x－1)，D错．

思维升华　由函数的奇偶性与对称性可求函数的周期，常用于化简求值、比较大小等．

跟踪训练3　(2022·南阳模拟)已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(x)的图象关于点(1,0)对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2－2^x，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)的值为(　　)

A．－2  B．－1  C．0  D．1

答案　D

解析　∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，

∴f(－x)＝－f(2＋x)，

又f(x)为R上的偶函数，

∴f(x)＝f(－x)，

∴f(x＋2)＝－f(－x)＝－f(x)，

∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，

∴f(x)是周期为4的周期函数，

∴f(3)＝f(－1)＝f(1)＝2－2＝0，

又f(0)＝1，f(2)＝－f(0)＝－1，

∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 024)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＋f(2 024)＝506×(1＋0－1＋0)＋f(0)＝1.

题型四　函数的周期性与对称性

例4　(多选)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，满足f(x＋1)＝f(x－2)，下列说法正确的是(　　)

A．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

B．y＝f(x)的图象关于点对称

C．y＝f(x)在[0,6]内至少有5个零点

D．若y＝f(x)在[0,1]上单调递增，则它在[2 021,2 022]上也单调递增

答案　BCD

解析　因为f(x＋1)＝f(x－2)且y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x＋3)＝f(x)，

故函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(x＋3)＝f(x)＝－f(－x)，

所以f(3＋x)＋f(－x)＝0，故函数y＝f(x)的图象关于点对称，A错误，B正确；

由题意可知，f(6)＝f(3)＝f(0)＝0，

因为f(x)＝f(x＋3)＝－f(－x)，令x＝－，可得f ＝f ，即f ＝－f ，

所以f ＝0，从而f ＝f ＝0，

故函数y＝f(x)在[0,6]内至少有5个零点，C正确；

因为f(2 021)＝f(3×674－1)＝f(－1)，f(2 022)＝f(3×674)＝f(0)，且函数f(x)在[0,1]上单调递增，

则函数f(x)在[－1,0]上也单调递增，故函数f(x)在[2 021,2 022]上也单调递增，D正确．

思维升华　函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

跟踪训练4　(多选)已知f(x)是定义域为R的函数，满足f(x＋1)＝f(x－3)，f(1＋x)＝f(3－x)，当0≤x≤2时，f(x)＝x²－x，则下列说法正确的是(　　)

A．f(x)的周期为4

B．f(x)的图象关于直线x＝2对称

C．当0≤x≤4时，函数f(x)的最大值为2

D．当6≤x≤8时，函数f(x)的最小值为－

答案　ABC

解析　对于A，∵f(x＋1)＝f(x－3)，∴f(x＋3＋1)＝f(x＋3－3)，则f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期为4，故A正确；

对于B，由f(1＋x)＝f(3－x)知f(x)的图象关于直线x＝2对称，故B正确；

对于C，当0≤x≤2时，f(x)＝x²－x在上单调递减，在上单调递增，

根据对称性可知，函数f(x)在，上单调递减，在，上单调递增，则函数f(x)在[0,4]上的最大值为f(2)＝4－2＝2，故C正确；

对于D，根据周期性以及单调性可知，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，则函数f(x)在[6,8]上的最小值为f ＝f ＝f ＝f ＝－＝－，故D错误.

课时精练

1．(2022·湖北九师联盟模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，若f(－2)＝1，则满足|f(2x)|≤1的x的取值范围是(　　)

A．[－1,1]                                    B．[－2,2]

C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)           D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

答案　A

解析　根据奇函数的性质，得f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1；由|f(2x)|≤1，得－1≤f(2x)≤1，即f(2)≤f(2x)≤f(－2)，所以－2≤2x≤2，解得－1≤x≤1.

2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，当0<x≤1时，f(x)＝x²－2x＋3，则f 等于(　　)

A．－  B.  C．－  D.

答案　C

解析　由题意，函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋1)＝f(－x＋1)，

可得f(x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝f(x＋4)，

所以函数f(x)是周期为4的周期函数．

又由当0<x≤1时，f(x)＝x²－2x＋3，

则f ＝f ＝－f ＝－f ＝－＝－.

3．(2023·许昌质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a＝－log₃10，

，

，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)

A．f(a)>f(c)>f(b)                           B．f(a)>f(b)>f(c)

C．f(b)>f(a)>f(c)                            D．f(c)>f(a)>f(b)

答案　C

解析　∵f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f(a)＝f(－log₃10)＝f(log₃10)，且2<log₃10<3，

f(b)＝f(－3)＝f(3)，f(c)＝f(

)，且1<

<2，

∵f(x)在(－∞，0)上单调递减，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则f(c)<f(a)<f(b)．

4．(2023·唐山模拟)已知函数f(x)＝x³＋ax²＋x＋b的图象关于点(1,0)对称，则b等于(　　)

A．－3  B．－1  C．1  D．3

答案　C

解析　∵f(x)的图象关于点(1,0)对称，

∴f(x)＋f(2－x)＝0，

又f(2－x)＝(2－x)³＋a(2－x)²＋(2－x)＋b

＝－x³＋(a＋6)x²－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，

∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x²－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝0，

∴解得a＝－3，b＝1.

5．(2023·焦作模拟)已知函数f(x)＝lg是奇函数，则使得0<f(x)<1的x的取值范围是(　　)

A.                             B.

C.                                   D.∪

答案　C

解析　令f(0)＝lg(2＋a)＝0，得a＝－1，

所以f(x)＝lg＝lg ，定义域为(－1,1)，

f(－x)＝lg ＝－lg ＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，

因为y＝＝－1在(－1,1)上单调递减，

所以f(x)在(－1,1)上单调递减，

又f(0)＝0，f ＝1，所以使得0<f(x)<1的x的取值范围是.

6．(多选)(2023·盐城模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x＋1)为偶函数，下列说法正确的有(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝－1对称

B．g(2 023)＝0

C．g(x)的最小正周期为4

D．对任意x∈R都有f(2－x)＝f(x)

答案　ABD

解析　因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，

所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，

所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；

由A分析知f(x)＝f(2－x)＝－f(－x)，

故f(2＋x)＝－f(x)，

所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，

所以f(x)是周期为4的周期函数，

则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确；

但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误．

7．(多选)已知奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，且满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数

B．函数f(x)是以4为周期的周期函数

C．函数f(x－1)为奇函数

D．函数f(x)在[5,6)上单调递增

答案　ABC

解析　对于选项A，B，∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(x)＋f(2－x)＝0，

∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，

则－f(x)＋f(2＋x)＝0，即f(2＋x)＝f(x)，

故函数f(x)是最小正周期为2的周期函数，由此可知选项A，B正确；

对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)．

在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，

∴f(x＋1)＝－f(1－x)，∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－F(x)，

则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，∴选项C正确．

对于选项D，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，

则函数f(x)在[5,6)上的单调性等价于函数f(x)在[－1,0)上的单调性，

又奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，∴函数f(x)在[－1,0)上单调递减．∴选项D不正确．

8．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)是偶函数，f(x－1)是奇函数，则下列命题正确的是(　　)

A．f(x)＝f(x－16)                               B．f(11)＝1

C．f(2 022)＝－f(0)                            D．f(2 021)＝f(－3)

答案　ACD

解析　因为f(2x＋1)是偶函数，

所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，

令t＝2x＋1，则2x＝t－1，故－2x＋1＝2－t，

所以f(t)＝f(2－t)，即f(x)＝f(2－x)，

所以函数f(x)关于直线x＝1对称，

因为f(x－1)是奇函数，所以f(－1)＝0，且函数f(x－1)关于(0,0)对称，

又因为函数f(x－1)是由函数f(x)向右平移1个单位长度得到，

所以f(x)关于(－1,0)对称，所以f(－x－1)＝－f(x－1)，所以f(x)＝－f(－x－2)，

所以f(2－x)＝－f(－x－2)，

则f(x)＝－f(x－4)＝f(x－8)，

即f(x)＝f(x＋8)，所以函数f(x)的一个周期为8，

故有f(x)＝f(x＋(－2)×8)＝f(x－16)，故A正确；

由函数f(x)关于直线x＝1对称，f(－1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝0，

所以f(11)＝f(3)＝0，故B错误；

因为f(2 022)＝f(8×253－2)＝f(－2)，

因为f(x)关于(－1,0)对称，

所以f(－2)＝－f(0)，

所以f(2 022)＝－f(0)，故C正确；

又f(2 021)＝f(8×253－3)＝f(－3)，故D正确．

9．(2023·南昌模拟)已知f(x)为定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上单调递减，则满足不等式f(2a)<f(4a－1)的a的取值范围是________．(用区间表示)

答案　

解析　因为f(x)为定义在[－1,1]上的偶函数，且在[－1,0]上单调递减，

所以f(x)在[0,1]上单调递增，

所以－1≤2a≤1，－1≤4a－1≤1，|2a|<|4a－1|，

所以0≤a<.

10．(2022·济宁模拟)已知函数f(x)＝e^|x－1|－sin x，则使得f(x)>f(2x)成立的x的取值范围是________．

答案　

解析　令g(x)＝e^|x|－cos x，将其向右平移1个单位长度，

得y＝e^|x－1|－cos＝e^|x－1|－sin x，

所以f(x)＝e^|x－1|－sin x是由函数g(x)向右平移1个单位长度得到的．

而易知g(x)是偶函数，

当x>0时，g(x)＝e^x－cos x，

g′(x)＝e^x＋sin x；

当0<x≤2时，显然g′(x)>0；

当x>2时，e^x>e²，－≤sin x≤，

所以g′(x)>0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．

从而可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．

所以当f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，解得0<x<.