博尔赫斯与无穷

最近，不少从前只修习文科的女同学常向我请教高数问题。种种或复杂或简单的问题中，有人问我：“无穷大到底是什么？为何不是一个数呢？”

事实上，数学家（except logicians）是这个世界上最不适合回答这个问题的一类人，因为他们从不理解数学，只是渐渐习惯于数学。（冯诺依曼语）对于我以及其他学生来说，习惯数学在很大程度上就是习惯“书上就是这么写的”。

这种情况下我觉得我有必要简单摘抄几个文学中无穷的概念，一是因为在我渐渐习惯数学书上所写的同时，我也很少再看一些文学作品了，许多有意思的记忆已经快要消退。二是因为编辑部的人要求我写一篇奇怪（自黑）的文章推荐几本书。

博尔赫斯在他的短篇小说《阿莱夫》里面描述了一个被命名为“阿莱夫”的小球，从这个小球中可以观察到宇宙的每一点。

他提到，“阿莱夫”应该是这个宇宙的一部分，然而它的奇特之处在于作为部分却能投射出这个宇宙全体。这个关系很像偶数与所有整数的关系，偶数是整数的一部分，然而偶数的集合通过除以二可以和所有整数构成一对一的映射。

事实上，在一个有限的集中，局部并不能投射出全体。据此，高斯的学生戴德金定义无穷的集合就是那些存在某个局部可以映射到自身的集合。然而，如今无穷集合中尺度最小的那些集合所拥有尺度被叫做阿莱夫零，也就是所有整数的多少。所有整数的子集构成的集合所拥有的尺度如今被称作阿莱夫一，戴德金进一步论证了这个尺度是所有实数的多少。

 由于这些线索，我很难不去猜想博尔赫斯是感叹于这个数学上的事实而受到启发写了这篇精彩的小说。

 

最让博尔赫斯着迷的问题也许是不朽。不朽是时间意义上的无穷。在他名为《博尔赫斯，口述》的演讲集里收录了一篇直接题为《不朽》的演讲。在这次演讲中，他谈及生死与存在的永恒，并且认为，个人生命无法达到不朽，然而宇宙或者说人类的各种存在方式会达到不朽：

我在这最近二十年里一直在研究古代英语诗歌，古代英语诗歌我能倒背如流。我唯独不知道的是这些诗人的名字。还有什么关系呢？如果说我在重读19世纪诗歌时我感到我成了那个世纪的某个人，那有什么关系呢？在这一儿功夫，他就活在我身上，我并不等于那个已亡故的人。在某种意义上，我们每个人都是过去已作古的人，这不仅仅因为他们和我属于同一血统。

 ……

我一直在使用西班牙语。有多少亡故的西班牙人活在我身上？我的意见也好，我的看法也好，都无所谓；过去人的姓名也都无所谓。

 ——《不朽》博尔赫斯

《兰亭集序》末尾写：后之揽者，亦将有感于斯文。大概也是这种意味。

如此看来，真正表现有限与无穷对立的问题倒不是生与死，而是记忆与忘却。在那本收录了《阿莱夫》而且名为《阿莱夫》的小说集里面，博尔赫斯讲了一个旅行者在沙漠深处发现永生者的故事，后来情节向读者们揭示，永生者其实是曾写下史诗的荷马，然而经过近三千年，他已经完全忘却了自己是荷马这一事实，成为了生活在洞穴里的野人。在《阿莱夫》里面，遗忘与变化亦为重要的主题。

博尔赫斯在《不朽》里的观点如此积极，我却十分怀疑有不朽的存在。（我并无雄心壮志去论证这一点。）因为有限与忘却是明显存在的，也许人类只是在观察了多得数不清的有限与完结之后，想象了一个不会完结的对象——不朽的存在。这么思考至少有一点是有趣的，那就是正因为不朽其实是不存在的，只有不存在的事物才能激发古今天才们如此丰富的思辨与诠释。莎士比亚借王子之口说：“啊，上帝，即便我困在坚果壳里，  我仍以为自己是无限空间的国王。”我猜就是这种讨论可能不存在的对象的痴心有那么一丝浪漫，霍金因此给他的书取名为《The Universe in a Nutshell》。

 

芝诺有一悖论说：一只乌龟爬行在阿基里斯跟前，如果阿基里斯要追上最开始在点的乌龟，那么他必途经点，然而此时乌龟已经到达远处的点，同样，当阿基里斯到达点的时候，乌龟又到了新的点……如此下去，将有无穷的点，阿基里斯则永远追不上乌龟。

芝诺论述的错误在于尽管在无穷段时间中阿基里斯落后于乌龟，但是这无穷段时间的加和却是时间上有限。

尽管不朽是时间意义上的无穷，但是芝诺悖论告诉我们无穷之物并不一定是不朽的。那么像芝诺这样分割时间是否就暗示了“无穷”——这一概念的存在？

不管答案如何，对于那些人类来说，思考它常有犯错的危险。像巴门尼德这样勤思的人，不能判断芝诺悖论的正误。天才如同哥德尔一样的人，不能证明是否有集合尺度介于阿莱夫零与阿莱夫一之间。

所以，当有女同学问我：无穷大为什么不是一个数？我感到这个问题如此难以回答，那么似乎就应如某位长者所言：我就什么话也不说，这是最好的。然而我不能对提问的女同学一言不发，我只好告诉她因为“书上就是这么写的”。

 

所以我十分佩服冯诺依曼的智慧。