什么是数学？
What is Mathematics?
by R. Courant and H. Robbins
Oxford University Press, New York, 1941
书价学校用版(School Edition)美金三元七角五分
这是近年来许多通俗数学书中的一本，其目的在对近三百年乃至近三十年的数学进展，作简单的叙述，使得不是专研究数学的人，可从此得到一点近代数学的概念。
全书分八章，前两章讲数的系统，是算术与代数的基础；第三、四、五章讲各种几何学及拓扑学；最后三章讲微积分与分析的基本概念，其中第七章极大与极小，是第一作者(R.C.)的工作兴趣所在，可说是本书的特色。
由本书立刻令人想像到一本有名的同性质的书，叫做“从高等观点看初等数学”。这书的作者Felix Klein与本书第一作者先后为德国哥丁根大学教授。两书异曲同工，从他们不同之处可以看出近五十年来数学的进步。
作者相信数学不能从空泛的解释学习，必须解决问题，得其精神；或至少看别人如何解决问题，了解全部的答案。所以全书尽量选择简单的问题，使在篇幅及读者程度所许可的范围内，可以对这些问题，给予完全的答案。作者选择这些问题的标准，似乎是看他们的解决，是否影响数学的观念方法而定。举第三章为例。作者在那章中，讨论到几何作图法及代数中的数域观念。这两个表面上不相干的观念之所以有关系，由于可以用直尺及圆规作图的数，必须属于某种形状的数域。这种数域是由已知数加上他们的平方根而产生。我们不难看到，这类数并不包括全体实数。因此凡几何作图题中所要做的数不属于这类数域者，都不能用直尺及圆规来做。
最有名的几何作图题，自然是所谓“几何学三大问题”，因为要解决这几个问题，便很自然的引到上说数域的讨论，研究所得的结论是要做的数不属于这类数域，而作图为不可能。(若所用工具限于直尺同圆规)这个“不可能”的答案是观念上的改变，值得特别提出，但也因此比较不易了解。通常的误解，由于归纳上的误觉。人类脑力所能控制的数字，图形，或事实，为数极为有限。科学工作中，尤其是数学工作中，往往先测验若干特殊情形，推测一些结论，然后求他在一般条件下的证明。做过许多作图题，便容易相信一切几何题都能作；“三大问题”之不能作，可说是给自信心太强的人当头一棒。笔者在最近几个月中，接到不少谬误的“三等分角作法”，想见一般之对于这问题尚缺正确的了解，因愿顺便声明：对于三等分角问题有兴趣的人，只有去读代数方程式论，了解“不可能”的证明，其他的努力都是徒劳的。
作者另一个主要的见解，是着重各门数学的关系，及数学与其他科学的关系。自从科学研究职业化以来，一个科学工作者可以在某门科学的某一小范围内，用他一生全部的精力与时间去工作，这样而有重要的贡献者，自然颇不乏人。但因缺少“新血”而工作质地退化者，恐更是多数。数学界因为近数十年来数学的多方面的进展，及一部分工作者的功利观念，专精一点的现象，已弄得相当普遍。当代一个大数学家梵尔(Hermann Weyl)，曾形容这种作风，说他是山洞内的数学，而不是原野的数学。本书要把数学回到原野去，要使读者了解，他的整个成一片，他的范围是无垠的。就此立场讲，这书即是专攻数学的人读了，也是有益的。
举极大与极小一章为例。那章中从极简单的几何问题，到函数的极大与极小，再到Morse的Critical Points理论，几何学，微积分，与拓扑学，可说都冶为一炉了，从Schwarz的三角形定理到“弹球问题”与统计力学，从Steiner的一个问题，讲到等周问题(即求等周而所包面积最大的平面曲线问题同他的推广)及Dirichlet原理，从变分学种种问题讲到作者的肥皂泡试验，凡此一切，都看出作者贯串的能力及全书生动的写法。
读完此书，不禁对于作者所代表的德国数学学派，表示极大的景仰。这个学派所达到的精深与博大，恐怕始终未被人超出。对于他们讲，数学创作同时是艺术，不但要阐明真理，还要欣赏推理的美。作者同Klein一样，相信第一流的数学结果，不是深奥的，而是可以解释得使一般人都懂；科学工作的困难在第一个发现某种秘密，不在了解他人的发现；科学的进步，使得问题简单化，并不使他们复杂化。
这本书自然没有答复书名所提出的问题：什么是数学？数学的妙处正因他不是几句话或几本书可以解释清楚，不但数学的内容随时在议变着，我们对于他的了解，亦如在深山中看风景，景色随着我们的观感而天天变化。作者的目的，在提出若干问题讨论，使读者可从实际经验，增加对于数学的了解。就这点讲，相信作者的目的是很成功的达到了。书中间有不正确处，但都无关大体。
这书理论上凡习过高中数学都可读。但实际上所需的准备较多，其中思想方法的训练较知识要紧。愿把这书介绍给有活力，肯思想，与能鉴赏智慧的美的一切人。
(陈省身)
数学元年编者注：文本中红色的字“议”是推测的，原文无法识别。
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