平面代数曲线的奇点

考虑平面代数曲线

根据隐函数定理, 在光滑点邻近的结构是比较简单的——在光滑点邻近局部地全纯地对应于上的一块开集.可能出现麻烦的是奇点,即使得

的点. 让我们来看一看在奇点处将出现一些什么情况.

设是平面代数曲线上任意一点, 选择的坐标使得; 仍设的方程为, 记

则对应的曲线是. 这里认为以标准方式嵌入:

把写成次数递增的一些齐次多项式之和:

这里是次齐次多项式, . 由于 , 必有 .

如果, 那么

即

或者

这意味着是的一个光滑点. 这时在点有唯一切线:

因而我们又说是的一个简单点.

要使是的一个奇点,必须而且只须, 如果, 那么

而且

给出, 这时我们说是的一个二重点.

类似的, 如果, 那么在点有三条切线(重切线重复计数), 它们满足方程

这时我们说是的一个三重点.

一般地,如果

那么在点有条切线(重切线重复计数),它们由方程

给出, 这时我们称为的一个重点.

“
定义: 称为是的一个通常重点, 如果是的一个重点并且在这点的条切线都不相重合.
”

例1: 考察代数曲线:

我们有

因而原点是的一个通常二重点.

例2: 考察代数曲线

我们有

原点也是的一个通常二重点.

例3: 考察曲线

我们有

此例中的原点是非通常二重点——尖点.

习题: 试证明原点是以下曲线的通常三重点:

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