微分方程的基本概念

1 微分方程的定义

微分方程就是含有导数的方程，例如：

它就含有导数  ，因此它就是一个微分方程。而我们知道导数的写法不止一种，这个方程还可以写为：

写成这种形式后，可以看到，方程中含有导数的最高阶为  ，因此这个方程又称为一阶微分方程。

有一阶微分方程，就有二阶微分方程：

这个方程就是二阶微分方程，我们可以给出  阶微分方程的定义

定义 .  阶 微分方程 的形式是：  在上述方程中  是必须出现的，而  等变量则可以不出现。

方程中只要保留最高次的导数，就是  阶微分方程，比如二阶微分方程中：

即使没有  与  ，方程式这样：

它仍然是二阶微分方程。

微分方程在物理中十分常见，例如我们熟知的牛顿第二定理：

将加速度  表示成速度的变化率  ，方程

就是一个微分方程，我们通过一道例题来了解一下它：

2 微分方程的例子

例已知一静止物体质量为  ，受到向右的力，大小为  ，求速率  与时间  的关系。

解：根据牛顿第二定理：

其中  ，  ，代入可得微分方程：

整理得到：

两边同时积分：

计算得到：

再根据题目所给条件  时，  ，可得

从而得到

这道例题虽然简单，但可以帮助我们了解微分方程：

初始式子可以看作：

当  时，无论  取何值，微分方程  都成立，  被称为  的通解。

而在  的条件下，解得  ，这称为微分方程的特解，这里用到的  称为初始条件。

3 通解与特解的几何意义

下面我们再几何上再来看看这个微分方程：

这个方程说明曲线再各点的导数为  ，即切线的斜率应该为

我们可以在坐标轴中取很多等距离的点，并在各个点作出斜率为  的小段直线，这个图像也被称为  的斜率场(线素场)。斜率场上的每根直线，就是图像在该点的斜率，根据斜率场，我们可以作出函数的图像：

这些函数不止一条，它们是  不同  取值时的图像，也就是微分方程的通解。

满足初值条件  的曲线，也就是过原点的曲线  ，是微分方程的特解。

4 总结

最后来给出微分方程中的各个基本概念

(1)微分方程的解：如果某函数  可以满足n阶微分方程，那么  就是微分方程的解。

前面例子  中，通解  与特解  都满足微分方程，它们都是微分方程的解。

(2)微分方程的通解：如果微分方程包含任意常数，且任意常数个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。

是一阶微分方程，它的通解  含有一个任意常数

二阶微分方程  ，它的通解为  ，它包含两个任意常数  与

需要注意的是，通解不一定包含微分方程的所有解，例如这样的方程：

它的通解为  ，而  也是微分方程的解，但是它并没有包含在通解中。这样的解被称为奇解。

最后再来说说初始条件和特解

(3)初始条件和特解：用来确定任意常数的条件称为初始条件。确定了任意常数后所得到的解，被称为微分方程的特解。

如前面的例子中，通解为  ，初始条件  确定了任意常数  ，得到特解